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Dualidade de Stone
Provavelmente você vai querer olhar esta lista antes e ter feitos algumas listas básicas de topologia.
1 Seja $A$ uma álgebra de Boole. Considere $B = \{a^*: a \in A\}$.
1.1 Mostre que $B$ é uma base para uma topologia sobre $Ult(A)$. Este é chamado de espaço de Stone de $A$. Neste caso, denotamos $Ult(A)$ com esta topologia por $s(A)$.
1.2 Mostre que o espaço de Stone de $A$ é de Hausdorff.
1.3 Este é um roteiro para mostrar que o espaço de Stone de $A$ é compacto. Considere $\mathcal C = \{a^*_i: i \in I\}$ uma cobertura por abertos básicos. Suponha que $\mathcal C$ não admita subcobertura finita.
1.3.1 Mostre que a família $\mathcal F = \{-a_i: i \in I\}$ é centrada.Dica
1.3.2 Conclua que existe um ultrafiltro que não é coberto por $\mathcal C$.
1.3.3 Mostre que o espaço de Stone é compacto.
1.4 Seja $V$ um aberto fechado no espaço de Stone de $A$. Mostre que existe $a_V \in A$ tal que $V = a_V^*$.Dica
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é $0$-dimensional se $X$ admite uma base de abertos fechados.
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é um espaço booleano se $X$ é compacto, $0$-dimensional e $T_1$.
2 Mostre que todo espaço boooleano é de Hausdorff.
3 Seja $A$ uma álgebra de Boole. Mostre que o espaço de Stone de $A$ é um espaço booleano.
Seja $(x, \tau)$ espaço booleano. Denotamos por $Clop(X)$ o conjunto $\{V \subset X: V$ é aberto e fechado$\}$.
4 Seja $X$ um espaço booleano. Mostre que $Clop(X)$ é uma álgebra de Boole com as operações usuais.
5 Seja $A$ uma álgebra de Boole. Mostre que $\varphi: A \rightarrow Clop(Ult(A))$ dada por $\varphi(a) = a^*$ é um isomorfismo de álgebras de Boole.
6 Seja $X$ um espaço booleano. Este é um roteiro para mostrar que $X$ é homeomorfo a $Ult(Clop(X))$.
6.1 Dado $x \in X$, mostre que $u_x = \{A \in Clop(X): x \in A\}$ é um ultrafiltro sobre $Clop(X)$.
6.2 Defina $h: X \rightarrow Ult(Clop(X))$ dada por $h(x) = u_x$. Mostre que $h$ é uma bijeção.
6.3 Mostre que $h$ é contínua. Conclua que $h$ é um homeomorfismo.
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