Ferramentas do usuário
$\psi$-espaços
Provavelmente você vai querer fazer a lista de famílias quase disjuntas antes desta.
Dada uma família quase disjunta $\mathcal F$ de subconjuntos de $\omega$, definimos o espaço $X = \mathcal F \cup \omega$ com a topologia tal que $\{n\}$ é aberto para todo $n \in \omega$ e as vizinhanças básicas de cada $F \in \mathcal F$ são da forma $\{F\} \cup (F \smallsetminus A)$, onde $A$ é finito. Denotamos tal espaço por $\psi(\mathcal F)$.
Nos próximos exercícios, considere $\mathcal F$ uma família quase disjunta de subconjuntos de $\omega$.
1 Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é Hausdorff. Solução
2 Mostre que todo $x \in \psi(\mathcal F)$ tem base local enumerável. Solução
3 Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é separável. Solução
4 Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é localmente compacto. Solução
5 Mostre que $\mathcal F$ é fechado e discreto em $\psi(\mathcal F)$. Solução
6 Suponha $\mathcal F$ família maximal quase disjunta. Mostre que toda sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ de pontos em $\omega$ tem subsequência convergente.Solução
Dizemos que $(X, \tau)$ é pseudocompacto se, para toda $f: X \rightarrow \mathbb R$ contínua, temos que $f[X]$ é limitado.
7 Suponha $\mathcal F$ família maximal quase disjunta infinita. Suponha $f: \psi(\mathcal F) \rightarrow \mathbb R$ contínua tal que $f[\psi(\mathcal F)]$ é ilimitado.
7.1 Mostre que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos de $\omega$ tal que $f[\{x_{n_k}: k \in \omega\}]$ é ilimitado para qualquer subsequência $(x_{n_k})_{k \in \omega}$.Solução
7.2 Obtenha uma contradição a partir do item anterior. Conclua que $\psi(\mathcal F)$ é pseudocompacto.Solução
8 Mostre que se $\mathcal F$ é uma família infinita maximal quase disjunta, então $\psi(\mathcal F)$ não é normal.DicaSolução
9 Mostre que o exercício anterior não é válido se a família não for infinita.
Ferramentas da página
