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Os jogos ponto-aberto e finito-aberto
Provavelmente você vai querer olhar a lista do jogo de Rothberger.
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de jogo/ponto-aberto; jogo ponto-aberto o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $x_n \in X$. Então, o jogador II escolhe $A_n$ aberto tal que $x_n \in A_n$. Dizemos que o jogador I vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$.
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de jogo/finito-aberto; jogo finito-aberto o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $F_n \subset X$ finito. Então, o jogador II escolhe $A_n$ aberto tal que $F_n \subset A_n$. Dizemos que o jogador I vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$.
1 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no finito-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.
2 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no finito-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.
3 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no ponto-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo finito-aberto.
4 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no ponto-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo finito-aberto.
Quando acontece situação como a descrita acima, em que as estratégias se traduzem entre os mesmos jogadores entre dois jogos (I tem estratégia vencedora em um se, e somente se, I tem no outro etc.) dizemos que os jogos são jogos/equivalentes;equivalentes.
5 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$. Solução
6 Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto. Solução
7 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Mostre que $\{\sigma(x): x \in X\}$ é uma cobertura para $X$.
8 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Sejam $x_1, \ldots, x_n \in X$. Mostre que $\{\sigma(x_1, \ldots, x_n, x): x \in X\}$ é uma cobertura para $X$.
9 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$.Dica Solução
10 Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II em $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$. Então existe $x \in X$ tal que para qualquer $A$ aberto tal que $x \in A$ existe $\mathcal C$ cobertura para $X$ tal que $\sigma(\mathcal C) = A$. Dica Solução
11 Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.
Quando acontece situação como a descrita acima, em que as estratégias se invertem de um jogador para o outro entre dois jogos (I tem estratégia vencedora em um se, e somente se, II tem no outro etc.) dizemos que os jogos são jogos/duais;duais.
Essa lista é baseada no artigo F. Galvin, Indeterminacy of point-open games, Bull. Acad. Polon. Sci. 26 (1978), no momento não foi encontrada versão online.
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