Topologia e conjuntos em exercícios

1 Mostre que se $X$ é $T_4$ e $F \subset X$ é fechado contido em um aberto $U$, então $\exists W$ aberto tal que $F \subset W \subset \overline{W} \subset U$

2 (Proposição) Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_4$ e $f : A \rightarrow [0,1]$ onde $A \subset X$ é fechado.

2.1 Defina $A_r = \{x \in A: f(x)\leq r\}, r \in \mathbb{Q}$ e $U_s = X \setminus \{x \in A: f(x) > s\}, s \in \mathbb{Q} \cap (0,1)$.

2.2 Note que $A_r$ é fechado e $U_s$ é aberto.

2.3 Considere a enumeração $(r_n,s_n)_{n \in \omega}$ para $P = {(r,s):r,s \in \mathbb{Q}, 0 \leq r < s < 1}$ e considere a ordem $(r,s) \leq (a,b) \iff r \leq a$ e $s \leq b$.

2.4 Construa uma sequência de abertos $(H_n)_{n \in \omega}$ de $X$ tais que

$(a) A_{r_n} \subset H_n \subset \overline{H_n} \subset U_{s_n}, \forall n \in \mathbb{N}$

$(b) \overline{H_m} \subset H_n, se (r_m,s_m) < (r_n,s_n)$

2.5 Mostre que essa construção é possível Dica

2.6 Defina $(H_{(r,s)})_{(r,s) \in P}$ a partir de $(H_n)_{n \in \omega}$

2.7 Defina $X_r = \bigcap_{r > s} \overline{H_{(r,s)}}$ e $X_r = \varnothing$ se $r < 0$ e $X_r = X$ se $r \geq 1$

2.8 Note que $X_r \subset \overline{H_{(r,s)}} \subset H_{(t,s)} \subset \overline{H_{(t,s)}} \subset \bigcap_{u > s} \overline{H_{(s,u)}} = X_s$

2.9 Note ainda que $A_r \subset X_r \cap A = A \cap \bigcap_{s > r} \overline{H_{(r,s)}} \subset A \cap \bigcap_{s > r} U_s = A_r$

2.10 Mostre que a família $(X_r)_{r \in \mathbb{Q}}$ de fechados satisfaz:

$(a) X_r \subset Int(X_s)$, se $r > s$

$(b) X_r \cap A = A_r, \forall r \in \mathbb{Q}$

2.11 Mostre que $F:X \rightarrow [0,1]$ estende f. Dica

3 (Lema de Urysohn) Mostre que se $(X,\tau)$ é um espaço topológico, então $(X,\tau)$ é $T_4$ se, e somente se, para todo $F,G \subset X$ fechados disjuntos, existe $f:X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $f[F] = {0}$ e $f[G] = {1}$ Dica

4(Teorema de Tietze) Sejam $(X,\tau)$, $F \subset X$ fechado e $f:F \rightarrow \mathbb{R}$, então existe $F:X \rightarrow \mathbb{R}$ extensão contínua de $f$. Dica