Topologia e conjuntos em exercícios

1 Mostre que $\omega \times \omega$ é enumerável.DicaSolução

2 Mostre que $X$ é enumerável se, e somente se, podemos escrever $X = \{x_n: n \in \omega\}$. Solução

3 Mostre que, se $A$ é enumerável e $B \subset A$, então $B$ é enumerável.

4 Mostre que se $X$ é enumerável e existe $f: X \to Y$ sobrejetora, então $Y$ é enumerável.Solução

5 Mostre que se $A$ e $B$ são enumeráveis, então $A \times B$ é enumerável.Solução

6 Mostre que $\omega^n$ é enumerável para todo $n \in \omega$ com $n > 0$.Dica

7 Mostre que se cada $A_n$ é enumerável, então $\bigcup_{n \in \omega} A_n$ é enumerável.Dica

8 Mostre que $2^\omega$ (conjunto das funções de $\omega$ em $\{0, 1\}$) não é enumerável.DicaSolução

9 Mostre que existe uma bijeção entre $2^\omega$ e $\wp(\omega)$ (conjunto de todos os subconjuntos de $\omega$).DicaSolução

10 Mostre que se $X$ é infinito (isto é, não finito), existe $f: \omega \to X$ injetora.

11 Este é um roteiro para mostrar que se $X$ é enumerável e infinito, então existe $f: \omega \to X$ função bijetora. Fixe $g: \omega \to X$ sobrejetora.

11.1 Construa por indução $(k_n)_{n \in \omega}$ da seguinte forma: $k_0 = 0$, $k_{n + 1} = \min\{a \in \omega: g(a) \neq g(k_j)$ para todo $j \leq n\}$.

11.2 Defina $f: \omega \to X$ como $f(n) = g(k_n)$. Mostre que $f$ é injetora.

11.3 Mostre que $f$ é sobrejetora.Dica

12 Seja $A$ enumerável. Defina, para cada $n \in \omega$, $A_n = \{B \subset A: B$ tem $n$ elementos$\}$.

12.1 Dado $n \in \omega$ com $n \neq 0$, mostre que existe uma função $\varphi: A_n \times A \to A_n \cup A_{n + 1}$ sobrejetora.Solução

12.2 Mostre que cada $A_n$ é enumerável. Solução

12.3 Mostre que $\bigcup_{n \in \omega} A_n = [A]^{<\omega}$.

12.4 Conclua que $[A]^{<\omega}$ é enumerável.

13 Mostre que, se $A$ é enumerável e infinito, então $\wp(A)$ é não enumerável.Solução

14 Mostre que o conjunto dos subconjuntos infinitos de $\omega$ é não enumerável.