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Forcing ccc e preservação de cardinais
Dizemos que um subconjunto $D$ de um conjunto parcialmente ordenado $\mathbb P$ é denso abaixo de $p\in\mathbb P$ se para todo $q\le p$ existe $r\in D$ tal que $r\le q$.
1 Sejam $\mathbb P$ um forcing, $p\in\mathbb P$ e $\varphi$ uma fórmula.
1.1 Mostre que $p\Vdash \varphi$ se, e somente se, $\{q\in\mathbb P: q\Vdash\varphi\}$ é denso abaixo de $p$.
1.2 Mostre que se $p\not\Vdash \varphi$, então existe $q\le p$ tal que $q\Vdash \neg\varphi$.
2 Seja, $\mathbb P$ um forcing, $p\in\mathbb P$, $\dot{f}$ um nome e $A, B$ conjuntos tais que $p\Vdash \dot{f}\colon \check{A}\to\check{B}$.
2.1 Para cada $a\in A$, mostre que \[ \{b\in B: \exists q\le p \text{ tal que $q\Vdash \dot{f}(\check{a})=\check{b}$ }\} \] é não vazio.
2.2 Defina $F\colon A\to\mathcal{P}(B)$ como \[ F(a)=\{b\in B: \exists q\le p \text{ tal que $q\Vdash \dot{f}(\check{a})=\check{b}$ }\} \] e mostre que, para todo $a\in A$, $p\Vdash \dot{f}(\check{a})\in \check{F}(\check{a})$
2.3 Mostre que se $\mathbb P$ é ccc, então $F(a)$ é enumerável para todo $a\in A$.
3 Sejam $\alpha$ e $\beta$ ordinais tais que $\alpha=cf(\beta)$. Mostre que \[ 1\Vdash \check{\alpha}\ge \dot{cf(\beta)}, \] onde $\dot{cf(\beta)}$ é o nome obtido pelo princípio do máximo aplicado à fórmula $\Delta_0$ “existe o menor ordinal $\dot{cf(\beta)}$ tal que existe $f\colon \dot{cf(\beta)}\to \check{\beta}$ cofinal em $\check{\beta}$”.
Dizemos que um forcing $\mathbb P$ preserva cofinalidade se, para quaisquer $\alpha, \beta$ ordinais tais que $\alpha=cf(\beta)$, temos \[ 1\Vdash \check{\alpha}=\dot{cf(\beta)}. \]
4 Queremos mostrar neste exercício que se $\mathbb P$ é um forcing ccc, então $\mathbb P$ preserva cofinalidade.
4.1 Suponha que existam $\alpha$ e $\beta$ ordinais tais que $1\not\Vdash \check{\alpha}=\dot{cf(\beta)}$. Note que existe então $p\in \mathbb P$ tal que \[ p\Vdash \check{\alpha}>\dot{cf(\beta)}. \]
4.2 Note que existem $q\le p$ e $\gamma<\alpha$ tais que \[ q\Vdash \check{\gamma}=\dot{cf(\beta)}. \]
4.3 Seja $\dot{f}\colon\check{\gamma}\to\check{\beta}$ cofinal e seja $F: \gamma\to\mathcal P(\beta)$ como no exercício 2. Mostre que se definimos $g\colon\gamma\to\beta$ como \[ g(\xi)=\sup F(\xi) \] para todo $\xi\in\gamma$, então $g$ é cofinal em $\beta$ e conclua o resultado.
Dizemos que um forcing $\mathbb P$ preserva cardinais se, para todo $\kappa$ cardinal, \[ 1\Vdash \check{\kappa}\text{ é cardinal }. \]
5 Seja $\mathbb P$ um forcing que preserva cofinalidade.
5.1 Mostre que, se $\kappa$ é um cardinal regular, então $1\Vdash \check{\kappa}\text{ é cardinal }$.
5.2 Mostre que todo cardinal singular é o supremo de um conjunto de cardinais regulares.
5.3 Conclua que $\mathbb P$ preserva cardinais.
Note que com os resultados desta lista e os resultados da lista “A consistência de $\neg$CH” você já deve ter tudo em mãos pra demonstrar a consistência da negação da Hipótese do Contínuo!
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