Topologia e conjuntos em exercícios

1 Sejam $X$ e $Y$ espaços onde o Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur. Mostre que então o Jogador II tem estratégia vencedora no Jogo de Banach-Mazur sobre $X \times Y$.Solução

2 Suponha que $X$ é um espaço onde o Jogador II tem estratégia vencedora $\rho$ no Jogo de Banach-Mazur e seja $Y$ um espaço de Baire. Esse é um roteiro para provar que $X \times Y$ é de Baire.

2.1 Note que se $\sigma$ é uma estratégia para o Jogador I no Jogo de Banach-Mazur sobre $X \times Y$, então podemos supor que $\sigma$ sempre dá abertos básicos. Solução

2.2 Suponha que $\sigma$ é uma estratégia vencedora para o Jogador I no Jogo de Banach-Mazur sobre $X \times Y$. Construa uma estratégia vencedora $\varphi$ para o Jogador I no Jogo de Banach-Mazur sobre $Y$ (usando também a $\rho$ do enunciado). Solução

2.3 Note que o item anterior implica no que queremos.

3 Suponha que o Jogador II tenha uma estratégia vencedora para o jogo de Banach-Mazur sobre cada $X_\xi$ com $\xi \in \kappa$.

3.1 Mostre que existe uma estratégia vencedora para o Jogador II no jogo de Banach-Mazur sobre $\square_{\xi \in \kappa} X_\xi$.

3.2 Conclua que se o Jogador II tem estratégia vencedora no jogo de Banach-Mazur sobre $X$, então $\square_{\xi \in \kappa} X$ é de Baire para todo $\kappa$.