Notas de Aula de SMA 0120 - Introdução à Análise Funcional

Introdução :

A Espaços vetoriais normados e de Banach

• Espaços Vetoriais Normados: Definição e Exemplos
• Espaços de Banach e Transformações Lineares: Definição, Exemplos e Primeiros Resultados

A Funcionais Lineares e os Teoremas de Hahn-Banach

• Funcionais Lineares e o Teorema de Hahn-Banach
• Hiperplanos, convexos e o funcional de Minkowski
• Formas geométricas do Teorema de Hahn-Banach
• Complexificação e espaços com produto interno

A Espaços com produto interno e Espaços de Hilbert

• Ortogonalidade, Projeções sobre convexos
• Projeções Ortogonais e o Teorema de Representação de Riesz
• Conjuntos Ortonormais e Bases de Hilbert

Conseqüencias do Lema de Baire

• O Lema de Baire e o Teorema da Aplicação Aberta
• Teoremas do Gráfico Fechado e da Limitação Uniforme

Operadores Duais, Simétricos e Auto-Adjuntos

• Operadores duais e Anuladores
• Conjuntos totais - Operadores Compactos
• Operadores Simétricos e Auto-Adjuntos
• Operadores Simétricos e sobrejetores são Auto-Adjuntos
• O Teorema de Friedrichs

Funcionais Lineares e Contínuos

• Considerações sobre compactos, Espaços Topológios - Sub-bases, Bases e Topologias
• Topologias induzidas por famílias de aplicações, Espaços Produto, Teorema de Tichonoff
• Topologias Fraca e Fraca* e suas propriedades
• Teorema de Banach-Alaoglu
• O dual de ℓ^p e o Teorema de Schur

Bibliografia

• E Kreyszig- Introductory Functional Analysis with Applications John Wiley & Sons (1978) (livro texto)
• G. Bachman and L. Narici- Functional Analysis, Academic Press, New York-London (1966) (complementar)
• G. F. Simons- - Introduction to Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill (1963) (complementar)
• Chaim S. Hönig- - Aplicações da Topologia à Análise, Projeto Euclides, CNPq-IMPA (1976) (complementar)