Como conjuntos Lebesgue mensuráveis são “uma extensão de conjuntos abertos”, funções mensuráveis são “extensão de funções contínuas”. De fato, como vamos discutir, uma definição de uma função $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup \infty$ ser Lebesgue mensurável é que a pré-imágem de um conjunto aberto seja Lebesgue mensurável.

É razoável que a definição seja de tal forma que $1_E$ (função característica) seja mensurável para $E$ Lebesgue mensurável. Funções de tipo $\sum c_i 1_{E_i}$ onde $c_i \in \mathbb{R}$ são chamadas funções simples.

Teorema: As definições listadas abaixo são equivalentes.

1. $f$ é limite pontual de uma sequência de funções simples não negativas (podenso assumir valor infinito).

2. $f$ é limite pontual de uma sequência de funções simples em quase todo ponto

3. $f$ é supremo de uma sequência de $0 \leq f_1 \leq f_2 \cdots$ de funções simples todas limitadas com suporte de medida finita.

As definições acima todas foram elaboradas com convergência de sequência de funções. ou seja, uma função é mensurável quando é limite de funções simples!Entretanto todas as definições acima são equivalentes com seguinterds definições: “pre-imagem de abertos é mensurável”

4. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f > \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

5. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f \geq \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

6. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f < \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

7. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f \leq \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

8. Para qualquer $I \subset [0, \infty]$ intervalo aberto, $f^{-1}(I)$ é Lebesgue mensurável

9. Para qualquer $U \subset [0, \infty]$ aberto, $f^{-1}(U)$ é Lebesgue mensurável

10. Para qualquer $K \subset [0, \infty]$ fechado, $f^{-1}(K)$ é Lebesgue mensurável

Demonstração:

(2) implica (4): Basta observar que $f(x) = \limsup f_n(x)$ para qtp $x.$ Então $$ \{ f > \lambda\} = \cup_{M > 0} \cap_{N=1}^{\infty} \{ sup_{n \geq N} f_n(x) > \lambda + \frac{1}{M}\}$$ (fora de um conjunto de medida nula) que por sua vez é igual a $$ \cup_{M > 0} \cap_{N=1}^{\infty} \cup_{n \geq N} \{ f_n(x) > \lambda + \frac{1}{M}\} $$ Lembrem que cada um dos conjuntos apresentados é mensurável por $f_n$ ser uma função simples. Finalemtne lembrando que união e interseção de mensuráveis pela definição é mensurável.

As afirmações (4) até (10) são equivalente usando análise básica e definição de sigma-álgebra: fechado por complementar e uniõa enumerável.

Agora vamos mostrar que essas afirmações (4)-(10) implica (3) que é algo funcional e forte.

Definimos $f_n(x) := max \{ k 2^{-n}; k \in \mathbb{N}, k 2^{-n} \leq min(f(x), n)\}$ quando $|x| \leq n$ e $f_n(x)=0$ para $|x| > n.$

Vejam que $(2k)2^{-(n+1)} = k 2^{-n}$ e portanto pela definição $f_{n+1}(x) \geq f_n(x).$ Agora precisamos mostrar que $f(x)= sup f_n(x).$ sabemos que $f_n (x)$ é crescente e sempre menor do que $f(x)$ e portanto $sup f_n(x) \leq f(x).$ Entretanto dado qualquer $\xi < f(x)$ podemos escolher um número diádico $k 2^{-n}$ entre $\xi$ e $f(x)$ e portanto $f_n(x) > \xi$.

Finalmente observem que cada $f_n$ é uma função simples que assume apenas alguns valores que são n´¨meros diádicos. Por outro lado para quaisquer valor $c$ assumido por $f_n$ podemos ver que $f_n^{-1}(c)$ é um conjnunto Lebesgue mensurável de $\mathbb{R}^n.$ (apenas imaginem os pontos diádicos na imagem de função e considere pre-imagens pela $f$).

Em geral dados dois espaços de medida $(X, \mathcal{B}), (Y, \mathcal{C})$ uma função $f : X \rightarrow Y$ é dita mensurável, quando $f^{-1}(C) \in \mathcal{B}$ para qualquer $C \in \mathcal{C}.$

O Teorema abaixo mostra que descartando um cnjuto de medida pequena, uma função mensurável coincide com alguma função contínua.

Definição: Uma função $h = \sum c_i 1_{E_i}, E_i \subset \mathbb{R}$ simples é dita de tipo escada se $E_i$ são intervalos.

Observação: O contra-domínio da função não precisa ser números positivos. De fato, a demonstração abaixo (com pequena modificação) serve para caso em que $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \cup \{\infty\}.$

Demonstação: A ideia é definir um conjunto ruim, onde fora deste conjunto possamos aproximar a função por outra contínua. Fazemos isso, por passos, construindo diferentes conjuntos “ruins”.

Primeiramente definimos um primeiro conjunto “ruim”, $B_{\infty} = \{ f = \infty\}, m(B_{\infty})=0.$

Lema: existe uma função $h : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ simples tal que $|f(x) - h(x)| < \epsilon/3 $ para todo $x \notin B_1$ e $m(B_1) < \epsilon/3.$

Demonstração do lema: Para demonstrar o lema observe que $[a, b] \setminus B_{\infty} = \bigcup_{n \geq 0} f^{-1} ([n, n+1)) $ é uma união disjuntas. Então $$\sum_{n=0}^{\infty} m(f^{-1} ([n, n+1))) < \infty$$ que por sua vez (a convergência da serie) implica que existe $n_0$ tal que $m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1))) < \epsilon/3.$ Agora particiona o intervalo $[0, n_0]$ em intervalinhos $E_i = [l_i, l_{i+1})$ de diametro $\epsilon$, i.e, $E_1, E_2,\cdots , E_k$ ($k = n_0/\epsilon$!). Agora defina $F_i:= f^{-1} (E_i)$. Observe que $B_1 := B_{\infty} \cup m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1)))$ e $m(B_1) \leq \epsilon/3.$

Precisamos de seguinte lema geral para aproximar os conjuntos mensuráveis $F_i$ por $U_i$ união de intervalos:

Lema: Seja $F \subset [a, b]$ um conjunto mensurável, então para qualquer $\delta> 0$ existe $U$ uma união finita de intervalos abertos tal que $m(U \Delta F) \leq \delta.$

Agora para cada $F_i, i=1, \cdots, k$ vamos aplicar o lema acima. Já que $F_i$ são disjuntos, vamos escolher $U_i$ satisfazendo lema acima com $\delta = \frac{\epsilon}{3k}$. Além disso, é possível escolher os abertos $U_i$ tais que $U_i \cap U_j = \emptyset.$ Porquê? Em particular temos também que $m(\cup F_i \setminus \cup U_i) \leq \epsilon/3$

Definimos a função escada $h$ na união de $U_i$ como $h|_{\cup U_i} := \sum c_i 1_{U_i}$ e fora desta união podemos definir constante (que não vai importar). Observe que se $x \in (U_i \cap F_i) \setminus B_1$ então $|f(x) - h(x)| \leq \epsilon.$ De fato $h(x)= l_i$ e $f(x) \in [l_i, l_{i+1})$.

Definimos agora um conjuto ruim um pouco maior: $B_2 = B_1 \cup \bigcup (F_i \setminus U_i)$ e pelas observações até agora temos que $m(B_2) \leq \epsilon/3 + \epsilon/3.$ Além disto $|f(x)- h(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B_2$.

Finalmente modificamos $h$ num conjunto $B_3$ de medida $\epsilon/3$ em torno de fronteira dos intervalos $U_i$ para obter uma função contínua $g$ que de fato coincide com $h$ no conjunto $[a, b] \setminus B_3$.

Finalmente defina $B = B_2 \cup B_3$, $m(B) \leq \epsilon/3 + 2\epsilon/3 = \epsilon$ e $|g(x) - f(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B.$

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