Como conjuntos Lebesgue mensuráveis são “uma extensão de conjuntos abertos”, funções mensuráveis são “extensão de funções contínuas”. De fato, como vamos discutir, uma definição de uma função $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup \infty$ ser Lebesgue mensurável é que a pré-imágem de um conjunto aberto seja Lebesgue mensurável.

É razoável que a definição seja de tal forma que $1_E$ (função característica) seja mensurável para $E$ Lebesgue mensurável. Funções de tipo $\sum c_i 1_{E_i}$ onde $c_i \in \mathbb{R}$ são chamadas funções simples.

Teorema: As definições listadas abaixo são equivalentes.

1. $f$ é limite pontual de uma sequência de funções simples não negativas (podenso assumir valor infinito).

2. $f$ é limite pontual de uma sequência de funções simples em quase todo ponto

3. $f$ é supremo de uma sequência de $0 \leq f_1 \leq f_2 \cdots$ de funções simples todas limitadas com suporte de medida finita.

As definições acima todas foram elaboradas com convergência de sequência de funções. ou seja, uma função é mensurável quando é limite de funções simples!Entretanto todas as definições acima são equivalentes com seguinterds definições: “pre-imagem de abertos é mensurável”

4. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f > \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

5. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f \geq \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

6. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f < \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

7. Para qualquer $\lambda \in [0, \infty]$, $\{f \leq \lambda\}$ é Lebesgue mensurável

8. Para qualquer $I \subset [0, \infty]$ intervalo aberto, $f^{-1}(I)$ é Lebesgue mensurável

9. Para qualquer $U \subset [0, \infty]$ aberto, $f^{-1}(U)$ é Lebesgue mensurável

10. Para qualquer $K \subset [0, \infty]$ fechado, $f^{-1}(K)$ é Lebesgue mensurável

Demonstração:

(2) implica (4): Basta observar que $f(x) = \limsup f_n(x)$ para qtp $x.$ Então $$ \{ f > \lambda\} = \cup_{M > 0} \cap_{N=1}^{\infty} \{ sup_{n \geq N} f_n(x) > \lambda + \frac{1}{M}\}$$ (fora de um conjunto de medida nula) que por sua vez é igual a $$ \cup_{M > 0} \cap_{N=1}^{\infty} \cup_{n \geq N} \{ f_n(x) > \lambda + \frac{1}{M}\} $$ Lembrem que cada um dos conjuntos apresentados é mensurável por $f_n$ ser uma função simples. Finalemtne lembrando que união e interseção de mensuráveis pela definição é mensurável.

As afirmações (4) até (10) são equivalente usando análise básica e definição de sigma-álgebra: fechado por complementar e uniõa enumerável.

Agora vamos mostrar que essas afirmações (4)-(10) implica (3) que é algo funcional e forte.

Definimos $f_n(x) := max \{ k 2^{-n}; k \in \mathbb{N}, k 2^{-n} \leq min(f(x), n)\}$ quando $|x| \leq n$ e $f_n(x)=0$ para $|x| > n.$

Vejam que $(2k)2^{-(n+1)} = k 2^{-n}$ e portanto pela definição $f_{n+1}(x) \geq f_n(x).$ Agora precisamos mostrar que $f(x)= sup f_n(x).$ sabemos que $f_n (x)$ é crescente e sempre menor do que $f(x)$ e portanto $sup f_n(x) \leq f(x).$ Entretanto dado qualquer $\xi < f(x)$ podemos escolher um número diádico $k 2^{-n}$ entre $\xi$ e $f(x)$ e portanto $f_n(x) > \xi$.

Finalmente observem que cada $f_n$ é uma função simples que assume apenas alguns valores que são n´¨meros diádicos. Por outro lado para quaisquer valor $c$ assumido por $f_n$ podemos ver que $f_n^{-1}(c)$ é um conjnunto Lebesgue mensurável de $\mathbb{R}^n.$ (apenas imaginem os pontos diádicos na imagem de função e considere pre-imagens pela $f$).

Em geral dados dois espaços de medida $(X, \mathcal{B}), (Y, \mathcal{C})$ uma função $f : X \rightarrow Y$ é dita mensurável, quando $f^{-1}(C) \in \mathcal{B}$ para qualquer $C \in \mathcal{C}.$