1. Sejam $f_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $f_n$ convergir uniformemente a $f.$ Quais das seguintes propriedades de descontinuidade passa de $f_n$ para $f$. Dê exemplo ou prove.
a. Não ter descontinuidade. isto é: Se $f_n$ não ter nenhum ponto de descontinuidade então $f$ também não tem ponto de descontinuidade.
b. No máximo 10 pontos de descontinuidades.
c. Pelo menos 10 pontos de descontinuidades.
d. Ter uma quantidade enumerável de descontinuidades.
2. Seja $(g_n)$ uma sequência de funções duas vezes diferenciáveis definidas no intervalo $[0,1].$ Suponhamos que para todo $n, g_n(0) = g_n^{'}(0)$ e que para todo $x \in [0, 1], |g_n^{'}(x)| \leq 1.$ Prove que existe uma subsequência de $g_n$ convergindo uniformemente.
3. Seja $k \geq 0$ um número inteiro e definimos $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $$ f_n(x) = \frac{x^k}{x^2 + n}. $$ Para quais valores de $k$ a sequência converge uniformemente em $\mathbb{R}?$
4. Dê exemplo de uma série de potências $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ com raio de convergência $R=1$ tal que a série converge em $x=1$ e não converge em $x=-1.$