vitali []

Existem diversos lemas conhecidos como Lema de Vitali.

Seja $E \subset \mathbb{R}$ com medida exterior de Lebesgue finita e $C$ uma coleção de intervalos que cobrem $E$ no sentido de Vitali (i.e para todo $\epsilon >0 , x \in E$ existe intervalo na coleção de tamanho menor do que $\epsilon$ contendo $x$ .) então dado $\epsilon > 0$ existem intervalos disjuntos $\{I_1, \cdots , I_N\}$ tais que $m^*(E \setminus \bigcup_{n=1}^{N} I_n) \leq \epsilon.$ Demonstração:

Já que $m^*(E) < \infty$ podemos achar $U$ aberto que $m(U) < \infty$ e $E \subset U.$ Podemos supor que $I \subset U$ para todos os intervalos $I \in C$ . De fato selecionamos apenas tais intervalos que cobrem $E.$

Escolhemos intervalos disjuntos $I_n$ por indução. Primeiramente escolhe $I_1$ . Sejam $I_1, \cdots, I_n$ foram selecionados. Se $E \subset \cup_{i=1}^n I_i$ , então encerra o processo. Se não, $k_n= sup_{I \cap I_j = \emptyset} |I| < \infty$ . Então escolhemos $I_{n+1}$ sem interseção com anteriores e $|I_{n+1}| > k_n/2$ .

Já que $\sum |I_n| < \infty$ então existe $N$ tal que $\sum_{N+1}^{\infty} |I_n| < \epsilon/5.$

Afirmamos que $m^*(R:= E \setminus \cup_{n=1}^{N} I_n) \leq \epsilon.$

Para provar toma $x \in R$ . Já que união de $I_n$ é fechado, existe um intervalo aberto $I$ que não intersecta nenhum $I_n, n \leq N$ . Claramente $I$ deve intersectar algum dos intervalos $I_n, n > N$ , pois se não intersectar até $|I| \leq k_n < 2 |I_{n+1}|$ que converge a zero e isto é um absurdo.

Agora tome $n$ menor numero inteiro que $I \cap I_n \neq \emptyset.$ Temos $|I| \leq k_{n-1} \leq 2 |I_n|$ e portanto $I$ é subconjunto de um intervalo com mesmo centro que $I_n$ e tamanho 5 vezes no máximo maior. Assim $m^*(R) \leq 5 \sum_{N+1}^{\infty} |I_n| \leq \epsilon.$

Seja $C$ uma coleção de bolas abertas em $\mathbb{R}^n$ e $U = \cup_{B \in C} B$ . Para qualquer $c < m(U)$ existem bolas disjuntas $B_1 , \cdots , B_N$ tais que $\sum_{i=1}^{N} m(B_i) > 3^{-n}c$

Para demonstrar a versão finita vamos enunciar o seguinte lema que também é conhecido como coração do argumento de Vitali:

Sejam $B_1, \cdots, B_n$ uma coleção finita de bolas abertas num espaço métrico qualquer. Então existem uma sub-coleção disjunta destas bolas $B_{j_1}, \cdots, B_{j_m}$ tais que $\bigcup_{i=1}^{n} B_i \subset \bigcup_{n=1}^{m} 3B_{j_n}$ onde $3B$ é a bola com mesmo centro de $B$ e raio 3 vezes maior.

Demonstração: Escolhe $B_1$ uma das bolas com maior raio entre $A_i$ 's. em seguida escolha $B_2$ a maior bola que não intersecta $B_1.$ E depois $B_3$ a maior que não intersecte $B_1, B_2.$ Continuando assim até não conseguir escolher mais nenhuma bola e paramos o processo. Agora tome qualquer $A_i$ . Certamente ela intersecta alguma bola $B_j$ . Seja $j_0$ o menor número com essa propriedade. Então pela construção de bola $B$ 's concluímos que $r(A_i) \leq r(B_j)$ e portanto $A_i \subset 3B_{j_0}.$

Uma versão infinita de Lema de Vitali em espaços métricos é como a seguir:

Seja $F$ uma coleção arbitrária de bolas num espaço métrico separável. Suponhamos que $Sup_{B \in F} r(B) < \infty.$ Então existe uma coleção enumerável $G \subset F$ de bolas disjuntas tais que $\bigcup_{B \in F} B \subset \bigcup_{B_i \in G} 5B_i$