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Já vimos que a série de potência $\sum c_n x^n$ converge uniformemente no seu raio de convergência $(-R, R)$ e que a convergência nos ponto $x=R, x= -R$ é delicado. Dependendo do exemplo, podemos ter convergência ou não neste pontos. Entretanto podemos provar (Teorema de Abel) que se $\sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n < \infty$ (convergente) então $$ \lim_{x \rightarrow R^{-}} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n. $$

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Série dupla:

Seja $\{a_{i, j}\}_{i, j \in \mathbb{N}}$ uma sequência dupla de números reais. suponhamos que $$ b_i = \sum_{j=1}^{\infty} |a_{ij}| $$ e que $\sum_{i=1}^{\infty} b_i < \infty.$ Então,

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij} = \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij} $$

(isto parece o teorema de Fubini!)

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Curiosidades sobre séries duplas:

Em geral podemos ter: $\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij} \neq \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij}$

Para dar um exemplo considere:
0 1 0 0 0 …
-1 0 1 0 0 …
0-1 0 1 0 …
0 0-1 0 1 …
Temos $$ \sum_{j=1}^{\infty} a_{1j} = 1, \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij}=0, i > 1. $$ e por outro lado: $$ \sum_{i=1}^{\infty} a_{i1} = -1, \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij}=0, j > 1. $$