Prazo 30 de junho

1. Seja $A \in SL(3, \mathbb{Z})$ (matriz com entradas inteiras, determinante um) e nenhum autovalor de norma um. Seja $B \in SL(3, \mathbb{Z})$ tal que $AB = BA.$ Suponhamos que $B$ possua algum autovalor com norma um, então mostre que $B=Id.$

2. Seja $A_{n \times n}$ uma matriz com entradas reais e inversível. Demonstre que

$n! det(A) = \begin{equation*} det \begin{pmatrix} tr(A) & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ tr(A^2) & tr(A) & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ tr(A^3) & tr(A^2) & tr(A) & 3 & &\vdots \\ \vdots & & & & &n-1\\ tr(A^n) & tr(A^{n-1}) & tr(A^{n-2}) & \cdots& \cdots & tr(A) \end{pmatrix} \end{equation*}$