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Vamos provar regra de Leibniz. Definimos transformações bilineares: $\beta: V \times W \rightarrow Z$ é uma transformação bilinear ($V, W, Z$ espaços vetoriais) se

• Fixado $v \in V$ a transformação $\beta (v, .) : W \rightarrow Z$ é linear,
• Fixado $w \in W$ a transformação $\beta (., w) : V \rightarrow Z$ é linear.

Definimos a norma também de forma similar: $$ \|\beta\| := \sup \{ \frac{|T(v, w)|}{|v|.|w|}, v \w \neq 0\}. \}$$

Podemos associar a $\beta$ uma transformação linear $T_{\beta} : V \rightarrow \mathcal{L}(W, Z)$ onde $\mathcal{L}(W, Z)$ é o espaço de todas as transformações lineares de $W$ em $Z$.