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Teorema de Aroximação de Weierstrass:

Este maravilhoso teorema demonstra que toda função contínua é aproximada na topologia $C^0$ por polinômios.

Teorema: Seja $f \in C^{[0, 1], \mathbb{R}}$ então para qualquer $\epsilon > 0$ existe um polinômio $P$ tal que para todo $x \in [0, 1]$ temos $|f(x) - P(x)| \leq \epsilon.$

Suponhamos que $f(0)=f(1)=0$ (de fato basta subtrair da $f$ uma função linear para cair nesta situação). Usamos polinômios $\beta_n(t) = b_n (1-t^2)^n$ tais que $\int_{-1}^{1} \beta_n(t) dt = 1.$ Mostramos que a convolução $$ P_n(x) = \int_{-1}^{1} f(x+t) \beta_n(t) dt $$ define polinômios e que $P_n$ converge uniformemente a $f.$