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+Sabemos que para qualquer número racional $   \alpha \geq 0 $ a função definida por $   f(x)=x^{\alpha} $ tem uma primitiva que é $   F(x) = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha +1}. $ Quando $   \alpha < 0 $ então o domínio da $   f $ é constituido por dois intervalos $   (-\infty, 0) $ e $   (0, \infty). $ Neste caso, ainda podemos definir $   \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha +1} $ cuja derivada é $   x^{\alpha}.$ Teremos apenas problema com caso em que $   \alpha = -1. $
+Entretanto a função $   \frac{1}{x} $ é contínua no seu domínio e portanto pelo teorema fundamentla de cálculo, dado qualquer número $   a > 0 $ definindo $   F(x)= \int_{a}^{x} \frac{1}{t} dt $ temos uma primitiva para função $   f(x)=\frac{1}{x}$ no intervalo $   (0, \infty). $ Observe que essa integral  está definida pela continuidade da função integrante.
+Vamos fixar $   a=1 $ e assim nasce uma função!
+$   \ln : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} $
+$   \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt. $
+Observe que para $   x > 1 $ o valor da integral definida acima é positiva e pela definição, se $   x < 1 $ temos:
+$   \ln(x)= \int_{1}^{x} \ln(t) dt = - \int_{x}{1} \frac{1}{t} dt < 0.$
+O gráfico da função $   x \rightarrow \ln(x) $ está abaixo e podemos interpretar sua concavidade observando que sua segunda derivada é sempre negativa. A primeira derivada, pelo teorema fundamental do cálculo é $   x \rightarrow \frac{1}{x} $ e portanto a função $   \ln $ é estritamente crescente.
+{{:log3.png?400|}}
+**Propriedades básicas:**
+Para quaisquer $    a, b > 0 $ e $    r \in \mathbb{Q}: $
+- $    \ln(1)=0. $
+- $    \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) $
+- $    \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) $
+- $    \ln(a^r) = r\ln(a). $
+- Existe único número real denotado por $    1 < e < 3 $ tal que $    \ln(e)=1. $
+- $    \lim_{x \rightarrow \infty} ln(x)= \infty $ porém para qualquer racional $    r > 0 $ temos $    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{x^r} = 0$
+- $    \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)= -\infty $ porém para qualquer racional $    r > 0 $ temos 8- $    \lim_{x \rightarrow 0^{+}}  \ln(x)x^r = 0$
+Demonstração:
+(1) é claro pela definição. Vamos provar (2) que foi muito difícil para aceitar no cálculo 1 (veja tentativa). Fixamos $    a > 0 $ e definimos função $    L: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} $ como a seguir:
+$    L(x)= \ln(ax). $
+A função $    L $ é diferenciável e pela regra da cadeira temos:
+$    L^{'}(x) = \frac{1}{ax}. a = \frac{1}{x} $
+Isto quer dizer que a função $    L $ é uma primitiva para $    \frac{1}{x} $ no intervalo $    (0, \infty) $ e portanto $    ln(x) - L(x) $ é um número constante:
+$    L(x) = \ln(x) + C. $ substituindo $    x=1$  obtemos $    C = \ln(a) $
+e assim concluímos que para qualquer $    x> 0 $ vale:
+$    \ln(ax) = \ln(x)+ \ln(a) $ completando a demonstração de (2).
+A demonstração de (3) é um exercício agora.
+Para provar (4), inicialmente substituímos $    a=b $ na propriedade (2) e temos: $    \ln(a^2)= 2\ln(a). $ Repetindo usando (2) teremos que para todo $    m $ natural temos: $    \ln(a^m)=m\ln(a). $
+Agora observe que $    a^{1/n} a^{1/n} \cdots a^{1/n}= a $ (n vezes)
+portanto $    n \ln(a^{1/n}) = \ln(a) $ e assim temos $    \ln(a^{1/n}) = \frac{1}{n} \ln(a). $
+Portanto $    \ln(a^{m/n}) = m \ln(a^{1/n}) = \frac{m}{n} \ln(a). $ Para $    r < 0 $ é um simples exercício repetir este argumento.
+Vamos provar o item (5):
+Já que $    \ln(1)=0 $ se mostrarmos que existe $    x>1  $ tal que $    \ln(x) > 1 $ então pela continuidade da função e teorema valor intermediário haverá um número $    e $ tal que $    \ln(e)=1. $ Já que $    \ln $ é estritamente crescente concluímos que existe apenas um número $    e $ tal que $    \ln(e)=1. $
+Vamos mostrar por que $    e < 3. $ Observando a concavidade da função $    f(t)=\frac{1}{t}$ concluímos que o trapézio formado pela reta tangente ao gráfico da $    f $ no ponto $    (2, \frac{1}{2}) $ (veja figura ABCD) tem área menor do que $    \int_{1}^{3} \frac{1}{t}dt = \ln(3). $ Como um exercício calcule e mostre que a área deste trapézio é 1. Portanto $    a < \ln(3) $ e assim concluímos (lembrando o valor intermediário) que $    e < 3. $
+Como um exercício mostrem que $    2 < e. $