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| medida:integraveis [2023/05/11 11:24] – external edit 127.0.0.1 | medida:integraveis [2023/05/11 11:26] (current) – external edit 127.0.0.1 |
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| Demonstração: Usando truncamentos horizontal e vertical podemos assumir que $f, g$ são limitadas e com suporte de medida finita. Lembrando que para funções mensuráveis limitadas e suporte de medida finita, integral inferior e superior coincidem. Agora usando super aditividade e sub-aditividade temos | Demonstração: Usando truncamentos horizontal e vertical podemos assumir que $f, g$ são limitadas e com suporte de medida finita. Lembrando que para funções mensuráveis limitadas e suporte de medida finita, integral inferior e superior coincidem. Agora usando super aditividade e sub-aditividade temos: |
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| Primeiro vamso supor que $f, g$ mensuráveis tem suporte de medida finita e são limitadas: | |
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| \overline{\int} f dx + \overline{\int} g dx \geq \overline{\int} f + g dx = \underline{\int} f dx \geq \underline{\int} f dx + \underline{\int} f dx | \overline{\int} f dx + \overline{\int} g dx \geq \overline{\int} f + g dx = \underline{\int} f dx \geq \underline{\int} f dx + \underline{\int} f dx |
| $$ | $$ |
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| | e portanto $\int f(x)+ g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ |
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| | Observe que em caso geral duas vezes consideramos limite. |
