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-Truncamento horizontal: Dado qualquer $0 \leq g \leq f$ função simples existe $n > g(x), \forall x \in \mathbb{R}^d.$ Portanto pela definição $ g(x) \leq  min(f(x), n)  $ e concluimos que $\int g dx \leq \int  min(f(x), n) dx.$ Isto mostra que $\sup \leq  min(f(x), n) dx \geq \int f(x) dx$ e por outro lado já que para todo $n$, $\leq  min(f(x), n) \leq \leq f dx$ então $sup_n \leq  min(f(x), n) dx \leq \int f(x) dx$ e  demonstramos truncamento horizontal.
+Truncamento horizontal: Dado qualquer $0 \leq g \leq f$ função simples existe $n > g(x), \forall x \in \mathbb{R}^d.$ Portanto pela definição $ g(x) \leq  min(f(x), n)  $ e concluimos que $\int g dx \leq \int  min(f(x), n) dx.$ Isto mostra que $\sup \leq  min(f(x), n) dx \geq \int f(x) dx$ e por outro lado já que para todo $n$, $  min(f(x), n) \leq f dx$ então $sup_n \leq  min(f(x), n) dx \leq \int f(x) dx$ e  demonstramos truncamento horizontal.
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 </WRAP>
+Demonstração: Usando truncamentos horizontal e vertical podemos assumir que $f, g$ são limitadas e com suporte de medida finita. Lembrando que para funções mensuráveis limitadas e suporte de medida finita, integral inferior e superior coincidem. Agora usando super aditividade e sub-aditividade temos:
+$$
+ \overline{\int} f dx + \overline{\int} g dx \geq \overline{\int} f + g dx = \underline{\int} f dx \geq \underline{\int} f dx + \underline{\int} f dx
+$$
+e portanto $\int f(x)+ g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
+Observe que em caso geral duas vezes consideramos limite.