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 Destacamos algumas propriedades de integral. Sejam $f, g$ funções unsigned (não necessariamente mensurável):
-  - (super-aditividade de integral inferior) \underline{\int} f+g dx \geq \underline{\int} f(x) dx + \underline{\int} g(x) dx$$
+  - (super-aditividade de integral inferior) $\underline{\int} f+g dx \geq \underline{\int} f(x) dx + \underline{\int} g(x) dx$.
+  - (sub-aditividade de integral superior) $\overline{\int} f+g dx \leq \overline{\int} f(x) dx + \overline{\int} g(x) dx$.
+  - (Truncamento horizontal) $\underline{\int} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \underline{\int} min(f(x), n) dx$
+  - (Truncamento vertical) $\underline{\int} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \underline{\int} f(x) 1_{|x| \leq n} dx.$
+Truncamento horizontal: Dado qualquer $0 \leq g \leq f$ função simples existe $n > g(x), \forall x \in \mathbb{R}^d.$ Portanto pela definição $ g(x) \leq  min(f(x), n)  $ e concluimos que $\int g dx \leq \int  min(f(x), n) dx.$ Isto mostra que $\sup \leq  min(f(x), n) dx \geq \int f(x) dx$ e por outro lado já que para todo $n$, $  min(f(x), n) \leq f dx$ então $sup_n \leq  min(f(x), n) dx \leq \int f(x) dx$ e  demonstramos truncamento horizontal.
+Truncamento vertical: Claro que para todo $n$ temos  $\underline{\int} f(x) 1_{|x| \leq n} dx \leq \underline{\int} f(x) dx$ e portanto o limite e menor ou igual a $\underline{\int} f(x) dx$. Agora vamos usar a definição de integral iunferior de $f$. Seja $0 \leq g \leq f$ função simples. Pela definição $\underline{\int} f(x) 1_{|x| \leq n} dx \geq \underline{\int} g(x) 1_{|x| \leq n} dx$. Basta observar que
+$\lim \underline{\int} g(x) 1_{|x| \leq n} dx = \underline{\int} g(x)  dx$, ou seja truncamento vertical para funções simples. Isto não é dificil, pois basta usar $ m(E) = \lim_{n \rightarrow \infty} m(E \cap \{|x| \leq n\}).$
+finalmente vamos concluir um corolário muito importante:
+<WRAP center round tip 60%>
+Sejam $f, g : \mathbb{R}^d \rightarrow [0, \infty]$ <color #ed1c24>mensuráveis</color>. Então vale o "sonho de operadores lineares":
+$$
+ \int f(x)+ g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.
+$$
+</WRAP>
+Demonstração: Usando truncamentos horizontal e vertical podemos assumir que $f, g$ são limitadas e com suporte de medida finita. Lembrando que para funções mensuráveis limitadas e suporte de medida finita, integral inferior e superior coincidem. Agora usando super aditividade e sub-aditividade temos:
+$$
+ \overline{\int} f dx + \overline{\int} g dx \geq \overline{\int} f + g dx = \underline{\int} f dx \geq \underline{\int} f dx + \underline{\int} f dx
+$$
+e portanto $\int f(x)+ g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
+Observe que em caso geral duas vezes consideramos limite.