Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- funcoesmensuraveis [2023/04/19 20:43] – external edit 127.0.0.1
+++ funcoesmensuraveis [2023/05/31 14:26] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 52: / Line 52: @@
 Finalmente observem que cada $f_n$ é uma função simples que assume apenas alguns valores que são n´¨meros diádicos. Por outro lado para quaisquer valor $c$ assumido por $f_n$ podemos ver que $f_n^{-1}(c)$ é um conjnunto Lebesgue mensurável de $\mathbb{R}^n.$ (apenas imaginem os pontos diádicos na imagem de função e considere pre-imagens pela $f$).
 <WRAP  round info 60%>
-Observem que pela definição, uma função é Lebesgue mensurável se a pré-imagem de qualquer conjuto em sigma-álgebra de Borel pertencer a sigma-álgebra de Lebesgue!
+Observem que pela definição, uma função é Lebesgue mensurável se a pré-imagem de qualquer conjuto em sigma-álgebra de Borel pertencer a sigma-álgebra de Lebesgue! De fato se considerarmos $\mathcal{C}$ como o conjunto de todos os $E$'s tais que $f^{-1}(E)$ é Lebesgue mensurável então $\mathcal{C}$ é uma sigma-álgebra. Além disso, pode definição contem todos os abertos e portanto contém todos os conjuntos de Borel.
 </WRAP>
@@ Line 61: / Line 62: @@
 Sabe por quê uma função Lebesgue mensurável foi definida como mensurável de Lebesgue a Borel? [[lebesgueborel|Resposta]]
 </WRAP>
-O Teorema abaixo mostra que descartando um cnjuto de medida pequena, uma função mensurável coincide com alguma função contínua.
-Definição: Uma função $h = \sum c_i 1_{E_i}, E_i \subset \mathbb{R}$ simples é dita de tipo escada se $E_i$ são intervalos.
-<WRAP  round box 60%>
-Teorema: Seja $f: [a, b] \rightarrow [0, \infty]$ uma função Lebesgue mensurável tal que $\{f = \infty\}$ tenha medida nula, então para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma função contínua $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $B \subset [a, b]$ com $m(B) \leq \epsilon$ tal que
-$$ |f(x) - g(x)| \leq \epsilon, \forall x \in [a, b]\setminus B $$
-</WRAP>
-Demonstação: A ideia é definir um conjunto ruim, onde fora deste conjunto possamos aproximar a função por outra contínua. Fazemos isso, por passos, construindo diferentes conjuntos "ruins".
- Primeiramente definimos um primeiro conjunto "ruim", $B_{\infty} = \{ f = \infty\}, m(B_{\infty})=0.$
- Lema: existe uma função $h : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ simples tal que $|f(x) - h(x)| < \epsilon/3 $ para todo $x \notin B_1$ e $m(B_1) < \epsilon/3.$
- Demonstração do lema: Para demonstrar o lema observe que $[a, b] \setminus B_{\infty} = \bigcup_{n \geq 0} f^{-1} ([n, n+1)) $ é uma união disjuntas. Então $$\sum_{n=0}^{\infty} m(f^{-1} ([n, n+1))) < \infty$$
-que por sua vez (a convergência da serie) implica que existe $n_0$ tal que $m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1))) < \epsilon/3.$
-Agora particiona o intervalo $[0, n_0]$ em intervalinhos $E_i = [l_i, l_{i+1})$ de diametro $\epsilon$, i.e, $E_1, E_2,\cdots , E_k$ ($k = n_0/\epsilon$!).  Agora defina $F_i:= f^{-1} (E_i)$. Observe que $B_1 := B_{\infty} \cup m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1)))$ e $m(B_1) \leq \epsilon/3.$
- Precisamos de seguinte lema geral para aproximar os conjuntos mensuráveis $F_i$ por $U_i$ união de intervalos:
-Lema: Seja $F \subset [a, b]$ um conjunto mensurável, então para qualquer $\delta> 0$  existe $U$ uma união finita de intervalos abertos tal que $m(U \Delta F) \leq \delta.$
-Agora para cada $F_i, i=1, \cdots, k$ vamos aplicar o lema acima. Já que $F_i$ são disjuntos, vamos escolher $U_i$ satisfazendo lema acima com $\delta = \frac{\epsilon}{3k}$. Além disso, é possível escolher os abertos $U_i$ tais que $U_i \cap U_j = \emptyset.$ Porquê? Em particular temos também que $m(\cup F_i \setminus \cup U_i) \leq \epsilon/3$
- Definimos a função escada $h$ na união de $U_i$ como $h|_{\cup U_i} := \sum c_i 1_{U_i}$ e fora desta união podemos definir constante (que não vai importar).  Observe que se $x \in (U_i \cap F_i) \setminus B_1$ então $|f(x) - h(x)| \leq \epsilon.$ De fato $h(x)= l_i$ e $f(x) \in [l_i, l_{i+1})$.
-Definimos agora um conjuto ruim um pouco maior: $B_2 = B_1 \cup \bigcup (F_i \setminus U_i)$ e pelas observações até agora temos que $m(B_2) \leq \epsilon/3 + \epsilon/3.$ Além disto $|f(x)- h(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B_2$.
-Finalmente modificamos $h$ num conjunto $B_3$ de medida $\epsilon/3$  em torno de fronteira dos intervalos $U_i$ para obter uma função contínua $g$ que de fato coincide com $h$ no conjunto $[a, b] \setminus B_3$.
-Finalmente defina $B = B_2 \cup B_3$, $m(B) \leq \epsilon/3 + 2/epsilon/3 = \epsilon$ e $|g(x) - f(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B.$