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--- fubini-tonelli [2023/06/30 08:59] – tahzibi
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   * (Fubini) Se $f \in L^1(\mu \times \nu)$ então $f_x \in L^1(\nu)$ para $\mu-$qtp $x.$ temos resultado similar para $f_y.$ Além disso,  $$ \int f d (\mu \times \nu) = \int \int f(x, y) d\nu(y) d \mu(x) = \int \int f(x, y) d\mu(x) d \nu(y)$$
+<WRAP center round tip 60%>
+Sobre Hipóteses do Teorema de Fubini-Tonelli
+</WRAP>
+<WRAP center round info 60%>
+$f \geq 0$ ou $f \in L^1$.
+</WRAP>
 Seja $X= Y = \mathbb{N} = \{1, 2, \cdots\}$ munidos de $\sigma-$álgebra trivial de todos os sub-conjuntos. Sejam $\mu_1=\mu_2$ medida de contagem. Para $m \geq 1$ defina $f(m, m) = 1, f(m+1, m)=-1$ e $f(m, n)=0$ para outros valores. Observe que
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 $$
+<WRAP center round info 60%>
+Medidas $\sigma-$finitas
+</WRAP>
+Sejam $X=Y=[0, 1]$ com $\sigma-$álgebras de Borel e $\mu=Leb$, $\nu$ medida de contágem (não é $\sigma-$finita). Seja $D = \{(x, x)\}$ o diagonal. então:
+$$\int 1_{D} d (\mu \times \nu) = \mu \times \nu(D) = \infty, \int\int 1_D d\nu d\mu = 1,\int\int 1_D d\mu d\nu =0. $$
+entretanto se $(X, \mathcal{M}, \mu)$ é munido de uma medida arbitrária e $Y$ é enumerável e $\nu$ medida de contágem, então o Teorema Fubini-Tonelli é válido. Essa versão do teorema é muito utilizado na teoria de probabilidade.