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Algumas traduções com a dualidade de Stone
É melhor você já ter feito a lista da dualidade de Stone antes de fazer essa.
Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $a \in A$ é um átomo se $a \neq 0$ e não existe $b \in A$ tal que $0 < b < a$.
1 Mostre que $a \in A$ é um átomo se, e somente se, $a^*$ corresponde a um aberto unitário em $s(A)$.
2 Mostre que $s(A)$ não tem pontos isolados se, e somente se, $A$ não tem átomos.
3 Seja $\varphi: A \rightarrow B$ um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Boole.
3.1 Mostre que $f:s(B) \rightarrow s(A)$ dada por $f(u) = \varphi^{-1}[u]$ é uma função injetora e contínua.
3.2 Mostre que para cada imagem homomorfa $B$ de $A$, existe um subespaço fechado $X$ de $s(A)$ tal que $Clop(X)$ e $Clop(s(B))$ são isomorfos.
4 Seja $X$ um espaço booleano. Seja $Y \subset X$ um subespaço fechado de $X$. Mostre que existe um homomorfismo sobrejetor $\varphi: Clop(Y) \rightarrow Clop(X)$.
5 Note a correspondência entre subespaços fechados num espaço booleano e imagens homomorfas em álgebras de Boole.
Dizemos que uma álgebra de Boole $A$ é atômica se, dado qualquer $a \in A$, existe $b$ átomo tal que $b \leq a$.
6 Mostre que uma álgebra de Boole $A$ é atômica se, e somente se, o conjunto dos pontos isolados em $s(A)$ é denso em $s(A)$.
Dizemos que uma álgebra de Boole é superatômica se toda imagem homomorfa dela é atômica.
7 Mostre que $A$ é superatômica se, e somente se, $s(A)$ é disperso.
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