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Famílias quase disjuntas
Seja $X$ um conjunto enumerável. Seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos infinitos de $X$. Dizemos que $\mathcal A$ é uma família/quase disjunta; família quase disjunta se, para todo $A, B \in \mathcal A$ distintos, temos que $A \cap B$ é finito. Dizemos que $\mathcal A$ é uma família/quase disjunta maximal; família quase disjunta maximal (no inglês MAD family) se não existe uma família quase disjunta $\mathcal B$ tal que $\mathcal A \subsetneq \mathcal B$.
1 Dê um exemplo de uma família quase disjunta infinita.
2 Dê exemplos de famílias quase disjuntas maximais de tamanho $1$, $2$ e $3$.
3 Mostre que toda família quase disjunta está contida numa maximal.Dica Solução
4 Mostre que não existe uma família quase disjunta maximal enumerável infinita.Solução
5 Este é um roteiro para construir famílias grandes.
5.1 Sejam $r, s \in \mathbb R \smallsetminus \mathbb Q$. Sejam $(q^r_n)_{n \in \omega}$ e $(q^s_n)_{n \in \omega}$ sequências de racionais tais que $q^r_n \rightarrow r$ e $q_n^s \rightarrow s$. Mostre que $\{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$ é finito se $r \neq s$. Solução
5.2 Mostre que existe uma família quase disjunta maximal de tamanho $\mathfrak c$ (isto é, tal que exista uma bijeção com $\mathbb R$).Dica Solução
Veja algumas relações dessas famílias com o axioma de Martin nesta lista.
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