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Caracterização de $p$-ponto via jogos
Nessa lista vamos apresentar um jogo que caracteriza um ultrafiltro como um $p$-ponto. Você provavelmente vai precisar de alguns conhecimentos básicos sobre jogos e da lista sobre $p$-ponto.
Seja $\mathcal{F}$ um ultrafiltro em $\omega$. Defina o jogo $G(\mathcal{F})$ jogado pelos jogadores I e II. O jogador I em sua $n$-ésima jogada escolhe um conjunto $X_n \in \mathcal{F}$ e o jogador II responde com um conjunto finito $a_n \subseteq X_n$. Juntos eles constroem uma sequência $$X_1,a_1,X_2,a_2,\ldots .$$ O jogador I ganha se $\displaystyle \bigcup_{n \in \omega} a_n \not\in \mathcal{F}$; caso contrário o jogador II ganha.
1 Este é um roteiro para mostrar que se $\mathcal{F}$ é um $p$-ponto e $\{X_n:n \in \omega\} \subseteq \mathcal{F}$, então existe $X \in \mathcal{F}$ tal que para infinitos $n$, $X \setminus n \subseteq X_n$.
1.1 Tome $Y \in \mathcal{F}$ tal que $Y \subseteq^* X_n$ para todo $n$. Construa uma sequência $\{n_k:k \in \omega\}$ estritamente crescente tal que $n_0 = 0$ e $Y \setminus n_{k+1} \subseteq X_{n_k}$ para todo $k>0$.
1.2 Mostre que ou $\displaystyle \bigcup_{k \in \omega} [n_{2k},n_{2k+1}) \in \mathcal{F}$ ou $\displaystyle \bigcup_{k \in \omega} [n_{2k+1},n_{2k+2}) \in \mathcal{F}$.
1.3 Assuma sem perda de generalidade que $\displaystyle \bigcup_{k \in \omega} [n_{2k+1},n_{2k+2}) \in \mathcal{F}$. Mostre que $\displaystyle X = Y \cap \left(\bigcup_{k \in \omega} [n_{2k+1},n_{2k+2})\right)$ satisfaz a condição desejada.
2 Suponha que $\mathcal{F}$ contém o filtro dos conjuntos cofinitos. Mostre que o jogador II nunca tem estratégia vencedora em $G(\mathcal{F})$.
3 Suponha que $\mathcal{F}$ não é um $p$-ponto. Mostre que o jogador I tem estratégia vencedora em $G(\mathcal{F})$.
4 Esse é um roteiro para mostrar que se o jogador I tem estratégia vencedora em $G(\mathcal{F})$, então $\mathcal{F}$ não é um $p$-ponto. Faremos por absurdo: supondo que $\mathcal{F}$ é um $p$-ponto e que o jogador I tem uma estratégia vencedora $\sigma$ construiremos um jogo no qual o jogador I joga segundo $\sigma$ e perde.
4.1 Defina $\mathcal{A}_n$ como a família de conjuntos jogados por I em seus primeiros $n$ movimentos, segundo a estratégia $\sigma$, e o jogador II apenas joga conjuntos $a_k \subseteq n$ para $k \leq n$.
4.2 Defina $Y_n = \bigcap \mathcal{A}_n$. Encontre um conjunto $Y \in \mathcal{F}$ e uma função estritamente crescente $f \in \omega^{\omega}$ tais que $Y \setminus f(n) \subseteq Y_n$ para $n \in \omega$.
4.3 Seja $k_0 = f(0)$ e $k_{n+1} = f(k_n)$. Mostre que ou $Y_1 = \displaystyle \bigcup_{n \in \omega} [k_{2n},k_{2n+1}) \in \mathcal{F}$ ou $Y_2 = \omega \setminus Y_1 \in \mathcal{F}$.
4.4 Sem perda de generalidade assuma que $Y_1 \in \mathcal{F}$. Considere o jogo $$X_1,a_1,X_2,a_2,\ldots$$ onde o jogador I joga segundo $\sigma$ e o jogador II joga $a_n = [k_{2n},k_{2n+1}) \cap Y$. Mostre que as jogadas do jogador II são válidas e que o jogador I perde.
5 Conclua que o jogador I tem estratégia vencedora em $G(\mathcal{F})$ se, e somente se, $\mathcal{F}$ não é um $p$-ponto.
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