Ferramentas do usuário
$p$-ponto
Dizemos que um ultrafiltro não principal $u$ sobre $\wp(\omega)$ é um $p$-ponto se, para qualquer família $(A_n)_{n \in \omega}$ tal que cada $A_n \in u$, temos que existe $B \in u$ tal que $B \subset^* A_n$ para todo $n$.
Uma família $\mathcal{E}$ de conjuntos tem a Propriedade de Interseção Finita Forte (SFIP, em inglês) se $\bigcap \mathcal{F} \neq \emptyset$ para todo $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{E}$ finito.
Um conjunto $K$ é uma pseudo-interseção de $\mathcal{E}$ se $K$ é infinito e $K \subset^* Z$ para todo $Z \in \mathcal{E}$.
6 Seja $\mathcal A$ família de subconjuntos infinitos de $\omega$ que tem a SFIP. Mostre que existe $B$ pseudo-interseção de $\mathcal{A}$.
7 Seja $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$ sequência quase decrescente de conjuntos infinitos de $\omega$, isto é, $X_\beta \subset^* X_\alpha$ para todo $\alpha < \beta < \delta$ e $X_\gamma$ é infinito para cada $\gamma < \delta$. Mostre que o conjunto $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \delta\}$$ é um filtro (próprio) que contém o filtro dos conjuntos cofinitos.
8 Esse é um roteiro para mostrar que, supondo CH, existe um $p$-ponto. Faremos isso ao construir uma sequência quase decrescente de conjuntos infinitos de comprimento $\omega_1$ e aplicar o Exercício 2.
8.1 Note que podemos obter uma enumeração $\wp(\omega) = \{A_\alpha : \alpha < \omega_1\}$.
8.2 Fixe $X_0 \doteq \omega$. Por indução, em um ordinal sucessor $\alpha+1$ verifique que podemos definir $$X_{\alpha+1} \doteq \left \lbrace \begin{matrix} X_\alpha \cap A_\alpha & \text{se } |X_\alpha \cap A_\alpha| = \aleph_0 \\ X_\alpha \cap (\omega \setminus A_\alpha) & \text{caso contrário} \end{matrix} \right.$$
8.3 Verifique que toda sequência quase decrescente enumerável de subconjuntos infinitos de $\omega$ pode ser estendida por um conjunto infinito. Mostre que com isso podemos definir $X_\delta$ para $\delta < \omega_1$ ordinal limite.
8.4 Com a sequência $\langle X_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle$ defina $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \omega_1\}.$$ Mostre que $\mathcal{F}$ é um $p$-ponto.
Note que CH foi utilizado principalmente para obter o Execício 3.3. Podemos, entretanto, obter um $p$-ponto em um universo com $2^{\aleph_0}$ grande.
Uma torre é uma sequência quase decrescente maximal de subconjuntos infinitos de $\omega$, digamos $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$, tal que não existe conjunto infinito $X$ com $X \subset^* X_\alpha$ para todo $\alpha < \delta$.
O número torre $\mathfrak{t}$ é o menor ordinal $\delta$ tal que existe uma torre de comprimento $\delta$.
9 Mostre que $\aleph_1 \leq \mathfrak{t} \leq 2^{\aleph_0}$.
10 Suponha $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$. Mostre que existe $p$-ponto.
11 Esse é um roteiro para mostrar que o Axioma de Martin implica $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$. Faremos isso ao construir um forcing ccc $\mathbb{P}$ e daí obter uma extensão para uma sequência de tamanho menor que o continuum.
11.1 Assuma MA e seja $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$, $\delta < 2^{\aleph_0}$, uma sequência quase decrescente de conjuntos infinitos. Note que o conjunto $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \delta\}$$ é um filtro.
11.2 Considere $$\mathbb{P} \doteq \{(s,A):s \in [\omega]^{<\omega},A \in \mathcal{F},\max s < \min A\},$$ com a relação $\leq$ dada por $(t,B) \leq (s,A)$ se
- $s \subset t$, $A \supset B$
- $t \setminus s \subset A$
Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é um forcing.
Um forcing $\mathbb{P}$ é $\sigma$-centrado se existe uma partição $\mathbb{P} = \bigcup_{i \in \omega} \mathbb{P}_i$ tal que cada $\mathbb{P}_i$ é centrado, ou seja, toda coleção finita de elementos de $\mathbb{P}_i$ possui limitante inferior.
11.3 Mostre que todo forcing $\sigma$-centrado é ccc.
11.4 Mostre que a relação $$(s_1,A_1) \sim (s_2,A_2) \iff s_1=s_2$$ define uma partição enumerável de $(\mathbb{P},\leq)$ em partes centradas. Conclua que $(\mathbb{P},\leq)$ é $\sigma$-centrado, logo, ccc.
11.5 Para cada $\alpha < \delta$ defina $D_{\alpha} \doteq \{(s,A) \in \mathbb{P} : A \subset X_{\alpha}\}$. Mostre que $D_{\alpha}$ é denso em $\mathbb{P}$.
11.6 Para cada $n \in \omega$ defina $\tilde{D}_n \doteq \{(s,A) \in \mathbb{P} : \max s > n\}$. Mostre que $\tilde{D}_n$ é denso em $\mathbb{P}$.
11.7 Defina $\mathcal{D} \doteq \{D_{\alpha}:\alpha < \delta\} \cup \{\tilde{D}_n:n \in \omega\}$. Mostre que $|\mathcal{D}|<2^{\aleph_0}$. Tome $G$ filtro $\mathcal{D}$-genérico e defina $$X \doteq \bigcup_{(s,A) \in G} s$$ e mostre que $X$ é uma extensão infinita de $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$.
11.8 Conclua que $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$.
12 Mostre que MA implica a existência de um $p$-ponto.
13 Dado $u$ ultrafiltro não principal, mostre que $u$ é $p$-ponto se, e somente se, para qualquer partição $\bigcup_{n \in \omega} A_n$ tal que cada $A_n \notin u$, existe $B \in u$ tal que $B \cap A_n$ é finito para todo $n$.
Dado um ultrafiltro não principal $u$, dizemos que uma família $\mathcal A \subset u$ gera $u$ se, para todo $U \in u$ existe $A \in \mathcal A$ tal que $A \subset^* U$.
O caráter de $u$, denotado $\chi(u)$, é o menor tamanho de uma família $\mathcal{A} \subset u$ que gera $u$.
$\mathfrak{p}$ é o menor tamanho de uma família $\mathcal{E} \subset [\omega]^{\omega}$ tal que $\mathcal{E}$ tem a SFIP e não existe $\mathfrak{p}$seudo-interseção de $\mathcal{E}$.
14 Seja $u$ ultrafiltro não principal. Mostre que ele não é gerado por uma família enumerável.
15 Seja $u$ ultrafiltro não principal. Mostre que $\mathfrak{p} \leq \chi(u) \leq 2^{\aleph_0}$.
16 Esse é um roteiro para mostrar que o Axioma de Martin implica $\mathfrak{p} = 2^{\aleph_0}$. Faremos isso ao tomar uma família $\mathcal{F} \subset [\omega]^{\omega}$ com a SFIP, $|\mathcal{F}| < 2^{\aleph_0}$, construir um forcing ccc $\mathbb{P}$ e daí obter uma pseudo-interseção para $\mathcal{F}$.
16.1 Assuma MA e tome $\mathcal{F} \subset [\omega]^{\omega}$ com a SFIP, $|\mathcal{F}| < 2^{\aleph_0}$, e defina $$\mathbb{P} \doteq \{(s,F):s \in [\omega]^{<\omega},F \in [\mathcal{F}]^{<\omega}\},$$ com a relação $\leq$ dada por $(s',F') \leq (s,F)$ se
- $s$ é um segmento inicial de $s'$
- $F' \supset F$
- para todo $A \in F$ vale $s' \setminus s \subset A$
Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é um forcing.
16.2 Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é $\sigma$-centrado, logo, ccc.
16.3 Para cada $A \in \mathcal{F}$ defina $D_A \doteq \{(s,F) \in \mathbb{P} : A \in F\}$. Mostre que $D_A$ é denso em $\mathbb{P}$.
16.4 Para cada $n \in \omega$ defina $D_n \doteq \{(s,F) \in \mathbb{P} : |s| > n\}$. Mostre que $D_n$ é denso em $\mathbb{P}$.
16.5 Defina $\mathcal{D} \doteq \{D_A:A \in \mathcal{F}\} \cup \{D_n:n \in \omega\}$. Mostre que $|\mathcal{D}|<2^{\aleph_0}$. Tome $G$ filtro $\mathcal{D}$-genérico e defina $$X \doteq \bigcup_{(s,F) \in G} s$$ e mostre que $X$ é uma pseudo-interseção de $\mathcal{F}$.
16.6 Conclua que $\mathfrak{p} = 2^{\aleph_0}$.
17 Suponha MA. Mostre que se $u$ é um ultrafiltro não principal, então $\chi(u) = 2^{\aleph_0}$.
18 Suponha CH e seja $u$ um $p$-ponto. Mostre que existe $(A_\xi)_{\xi <\omega_1}$ que gera $u$ e tal que $A_\xi \subset^* A_\eta$ se $\eta < \xi$.
A próxima parte da lista fala sobre $p$-pontos do ponto de vista topológico, provavelmente você vai precisar da lista sobre $\beta\omega$ como espaço dos ultrafiltros sobre $\omega$.
19 Para $A,B \subseteq \omega$ mostre que
19.1 $A \subseteq B$ se, e somente se, $\bar{A} \subseteq \bar{B}$.
19.2 $A \subseteq^* B$ se, e somente se, $\bar{A} \cap (\beta\omega \setminus \omega) \subseteq \bar{B}$.
20 Mostre que $A \subseteq \omega$ é uma pseudo-interseção da família $\{A_i:i \in I\}$ se, e somente se, $\bar{A} \subseteq \bigcap_{i \in I} \bar{A_i}$.
21 Mostre que a interseção de enumeráveis vizinhanças $\{\bar{A_i}:i < \omega\}$ de um ponto $p \in \beta\omega \setminus \omega$ tem interior não vazio.
22 Mostre que $p \in \beta\omega \setminus \omega$ é um $p$-ponto se, e somente se, para cada coleção enumerável $\{\bar{A_i}:i < \omega\}$ de vizinhanças de $p$ existe uma vizinhança $\bar{A}$ tal que $p \in \bar{A} \subseteq \bigcap_{i < \omega} \bar{A_i}$.
23 Mostre que $ \aleph_1 \leq \mathfrak{p} \leq \mathfrak{t} \leq 2^{\aleph_0}$.
Surpreendentemente, um resultado devido a Malliaris e Shelah mostra que $\mathfrak{p} = \mathfrak{t}$ em ZFC. Aqui está o artigo original com a demonstração do teorema, e aqui uma discussão mais informal sobre o problema.
Ferramentas da página
