Topologia e conjuntos em exercícios

Algumas coisas que são sempre importantes de serem lembradas:

Álgebra de Boole

Uma álgebra de Boole é um conjunto $A$, munido de duas operações binárias $+$ e $\cdot$ e uma unitária $-$ com dois elementos denotados por $0, 1 \in A$ tais que, para todo $a, b, c \in A$:

1. $a \cdot b = b \cdot a$ e $a + b = b + a$
2. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ e $a + (b + c) = (a + b) + c$
3. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ e $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$
4. $a \cdot (a + b) = a + (a \cdot b) = a$
5. $a \cdot (-a) = 0$ e $a + (-a) = 1$

Alguns resultados:

1. $a1 = a$ e $a + 0 = a$
2. $a + a = aa = a$
3. $a0 = 0$ e $a + 1 = 1$
4. $-0 = 1$ e $-1 = 0$
5. se $a \leq b$ e $a' \leq b'$, então $aa' \leq bb'$
6. Para todo $a \in A$, $0 \leq a \leq 1$
7. $a \leq b$ se, e somente se, $a + b = b$
8. $a \leq b$, então $-b \leq -a$
9. $a \not \leq b$ se, e somente se, $a - b \neq 0$
10. $a \Rightarrow b = -a + b$
11. $ab \leq c$ se, e somente se, $a \leq (b \Rightarrow c)$

Ideia geral

Se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas de teoria dos conjuntos, temos:

1. $|\neg \varphi ]\!] = - |\varphi |$
2. $|\varphi \land \psi|=|\varphi ||\psi |$
3. $|\varphi \rightarrow \psi | = 1$ se, e somente se, $|\varphi | \leq | \psi |$

Nome

Seja $x$ um conjunto. Definimos $\check x$ o nome tal que dom$(\check x) = \{\check y: y \in x\}$ e, para cada $y \in x$, $\check x(\check y) = 1$

Valor Booleano de fórmulas

Sejam $x, y$ nomes. Definimos:

1. $\displaystyle |x \in y | = \sup_{t \in \text{dom}(y)}y(t)|x = t |$
2. $\displaystyle |x \subset y | = \inf_{t \in \text{dom}(x)} (x(t) \Rightarrow |t \in y |)$
3. $| x = y | = | x \subset y || y \subset x |$

Sejam $a, b, c$ nomes. Mostre as seguintes afirmações:

1. $|a = b || b = c| \leq | a = c |$
2. $|a \in b || a = c | \leq | c \in b |$
3. $| a \in b || b = c | \leq | a \in c |$

Axioma da Separação e Axioma das Partes

Se $a$ e $b$ são nomes e $\varphi$ é uma fórmula então:

1. $| a=b ||\varphi(b) | \leq | \varphi(a) |$.

1. $\displaystyle \sup_c |a=c \wedge \varphi(c) | = | \varphi(a) |$

1. $\displaystyle -\inf_{a \in A} a = \sup_{a \in A} -a$

Princípio do máximo

Dada $\varphi$ fórmula, existe $\sigma$ nome de modo que $| \exists x \, \varphi (x) | = | \varphi ( \sigma ) |$