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$\beta\omega$ como espaço dos ultrafiltros em $\omega$
Você provavelmente vai precisar de alguns conceitos básicos de Topologia e alguns conhecimentos sobre ultrafiltros.
O conjunto $\beta\omega$ é definido como $\beta\omega \doteq \{p \subseteq \wp(\omega) : p \text{ é ultrafiltro em } \omega\}$.
24 Esse é um roteiro para construir uma base para uma topologia em $\beta\omega$.
24.1 Para cada subconjunto $A \subseteq \omega$ defina $\bar{A} \doteq \{p \in \beta\omega : A \in p\}$. Note que $p \in \bar{A}$ se, e somente se, $A \in p$.
24.2 Para $A,B \subseteq \omega$ mostre que vale $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cap B}$.
24.3 Para $A \subseteq \omega$ mostre que vale $\beta\omega \setminus \bar{A} = \overline{\omega \setminus A}$.
24.4 Mostre que $\overline{\omega} = \beta\omega$.
24.5 Defina $\mathcal{B} \doteq \{\bar{A} : A \subseteq \omega\}$. Mostre que $\mathcal{B}$ é uma base para uma topologia em $\beta\omega$.
De agora em diante sempre consideraremos $\beta\omega$ como um espaço topológico munido da topologia gerada por $\mathcal{B}$,e $\omega$ como espaço topológico munido da topologia usual (que é a topologia discreta).
25 Dado $A \subseteq \omega$ mostre que $\bar{A} \subseteq \beta\omega$ é fechado. Portanto, $\mathcal{B}$ é uma base de abertos fechados para $\beta\omega$.
26 Mostre que $\beta\omega$ é um espaço Hausdorff. Solução
27 Esse é um roteiro para mostrar que $\beta\omega$ é compacto.
27.1 Seja $\{\bar{A_i}:i \in I\}$ família de fechados básicos com a propriedade da interseção finita, isto é, para cada $E \subseteq I$ finito temos $\bigcap_{i \in E} \bar{A_i} \neq \emptyset$. Mostre que a família $\{A_i : i \in I\}$ também tem a propriedade da interseção finita.
27.2 Mostre que o conjunto $\mathcal{F} \doteq \{X \subseteq \omega : X \supseteq \bigcap_{i \in E} A_i \text{ para algum } E \subseteq I \text{ finito}\}$ é um filtro em $\omega$.
27.3 Note que podemos estender $\mathcal{F}$ por um ultrafiltro $p$ em $\omega$. Mostre que $p \in \bigcap_{i \in I} \bar{A_i}$.
27.4 Conclua que $\beta\omega$ é compacto.
28 Esse é um roteiro para mostrar que $\beta\omega$ contém uma cópia homeomórfica densa do espaço $\omega$.
28.1 Considere o mergulho natural $\beta: \omega \rightarrow \beta\omega$ dado por $n \mapsto \beta(n) \doteq \{X \subseteq \omega : n \in X\}$. Note que $\beta[\omega]$ é o conjunto de todos os ultrafiltros principais em $\omega$. Mostre que $\beta$ é injetiva.
28.2 Mostre que $\beta$ é contínua.
28.3 Mostre que $\beta$ é uma função aberta. Note que isso é suficiente para mostrar que a inversa $\beta^{-1} : \beta[\omega] \rightarrow \omega$ é contínua.
28.4 Dado $\bar{A} \in \mathcal{B}$ mostre que $\bar{A} \cap \beta[\omega] = \{\beta(n):n \in A\}$. Conclua que $\beta[\omega] \subseteq \beta\omega$ é denso.
29 Mostre que $\beta\omega \setminus \omega$ é compacto.
30 Esse é um roteiro para mostrar que nenhum ponto de $\beta\omega \setminus \omega$ possui base local enumerável.
30.1 Dado $p \in \beta\omega$ mostre que $\mathcal{B}(p) \doteq \{\bar{A}:p \in \bar{A}\}$ é uma base local para $p$ e $|\mathcal{B}(p)| = 2^{\aleph_0}$. Note que é suficiente analisarmos apenas as bases locais para $p$ da forma $\{\bar{A_i}:i \in I\} \subseteq \mathcal{B}(p)$.
30.2 Mostre que se $\{\bar{A_i}:i \in I\}$ é uma base local para $p \in \beta\omega$, então $\bigcap_{i \in I} \bar{A_i} = \{p\}$.
30.3 Seja $\{\bar{A_i}:i \in I\}$ uma família infinita de vizinhanças de $p \in \beta\omega \setminus \omega$ tal que $\bigcap_{i \in I} \bar{A_i} = \{p\}$. Sem perda de generalidade podemos supor que essa família satisfaz a propriedade da interseção finita. Mostre que o filtro gerado por essa família $\mathcal{F} \doteq \{X \subseteq \omega: X \supseteq A_i \text{ para algum } i \in I\}$ é de fato um filtro.
30.4 Mostre que $p$ é um ultrafiltro que estende $\mathcal{F}$. Mostre que $\mathcal{F}$ é um ultrafiltro. Conclua que $\mathcal{F} = p$.
30.5 Conclua que $\{A_i:i \in I\}$ é uma família que gera o ultrafiltro não principal $p$, logo, é não enumerável.
A próxima parte da lista busca mostrar que $\beta\omega$ como definido até aqui é de fato a compactificação de Stone-Cech de $\omega$, provavelmente você vai precisar da lista sobre a compactificação de Stone-Cech.
31 Seja $Y$ um compacto Hausdorff e $f:\omega \rightarrow Y$ uma função. Esse é um roteiro para construir uma função contínua $\tilde{f}:\beta\omega \rightarrow Y$ extensão de $f$.
31.1 Para cada ultrafiltro $p \in \beta\omega$ considere $\displaystyle \bigcap_{A \in p} \overline{f[A]}$. Mostre que $\displaystyle \bigcap_{A \in p} \overline{f[A]} \neq \emptyset$.
31.2 Tome $p \in \beta\omega$ e $y \in Y$ e seja $\mathcal{U}(y)$ a coleção de vizinhanças de $y$. Mostre que $$y \in \bigcap_{A \in p} \overline{f[A]} \iff \forall U \in \mathcal{U}(y) \,\, f^{-1}[U] \in p$$
31.3 Conclua que se $p \in \beta\omega$, então $\displaystyle \bigcap_{A \in p} \overline{f[A]} = \{y\}$ para algum $y \in Y$.
31.4 Podemos então definir a função $$\tilde{f}: \beta\omega \rightarrow Y \hspace{2cm} p \mapsto \bigcap_{A \in p} \overline{f[A]}.$$ Mostre que $\tilde{f} |_{\omega} = f$.
31.5 Dado $p \in \beta\omega$ e $V \in \mathcal{U}(\tilde{f}(p))$, como $Y$ é regular existe $V'$ vizinhança fechada de $\tilde{f}(p)$ tal que $V' \subseteq V$. Defina $A_0 \doteq f^{-1}[V']$ e mostre que $f[\bar{A_0}] \subseteq V'$. Conclua que $\tilde{f}$ é contínua.
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