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Formalização de funções e relações
Dados conjuntos $X$ e $Y$, chamamos de uma relação de $X$ em $Y$ um subconjunto $R \subset X \times Y$. Chamamos de domínio de $R$ o conjunto $\{x \in X: \exists y \ (x, y) \in R\}$. Chamamos de imagem de $R$ o conjunto $\{y \in Y: \exists x \ (x, y) \in R\}$. Muitas vezes, denotamos $x R y$ no lugar de $(x, y) \in R$.
No caso acima, quando $X = Y$, dizemos que a relação é sobre $X$.
1 Considere $R = \{(m, n) \in \omega \times \omega: \exists k \in \omega \ m + k = n\}$. Essa é uma relação bastante conhecida sobre $\omega$. Quem é ela? E seu domínio e sua imagem?
Dada uma relação $R$ de $X$ em $Y$, dizemos que $R$ é uma função se, para todo $(x, y), (x, y') \in R$, temos que $y = y'$. Neste caso, adotamos a notação $y = R(x)$ no lugar de $(x, y) \in R$.
Note que dada uma função $f: X \to Y$ o conjunto que normalmente chamamos de gráfico de $f$ nada mais é que a própria função da maneira como definimos aqui. Note também que a definição de conjunto domínio e imagem de $f$ usual coincide com a apresentada aqui.
2 Seja $X$ e $Y$ conjuntos. Sejam $f, g$ funções de $X$ em $Y$. Dizemos que $f$ e $g$ são compatíveis se, para todo $x \in dom(f) \cap dom(g)$ temos $f(x) = g(x)$.
2.1 Note que se $f$ e $g$ não têm pontos em comum em seus domínios, elas são compatíveis.
2.2 Dê um exemplo de duas funções não compatíveis.
2.3 Sejam $A, B \subset X$. Dadas $f:A \to Y$ e $g:B \to Y$, mostre que $f \cup g$ é uma função se, e somente se, $f$ e $g$ são compatíveis.
2.4 Generalize o item anterior da seguinte forma: se $\mathcal F$ é uma família de funções de subconjuntos de $X$ em $Y$, então $\bigcup_{f \in \mathcal F} f$ é uma função se, e somente se, para cada $f, g \in \mathcal F$, $f$ e $g$ são compatíveis.
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