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A consistência do Princípio \(\Diamond\)
Seja $\alpha$ ordinal e seja $F\subseteq\alpha$.
Dizemos que $F$ é um club se $F$ é fechado (na topología da ordem em $\alpha$) e ilimitado.
Dizemos que $S\subseteq\alpha$ é estacionário se, para todo $F$ club temos $F\cap S\not=\emptyset$.
1 Seja $S\subseteq\omega_{1}$ estacionário.
1.1 Se $\alpha\in\omega_{1}$ mostre que $\omega_{1}\setminus\alpha$ é um club em $\omega_{1}$.
1.2 Conclua que $S$ é ilimitado.
Chamamos de Princípio $\Diamond$ a afirmação: Existe uma sequência $\langle A_{\xi} : \xi <\omega_{1} \rangle $ tal que $A_{\xi}\subseteq \xi$, $\forall \xi\in\omega_{1}$ e tal que dado qualquer $A\subseteq\omega_{1}$, $\{\xi<\omega_{1} : A\cap\xi=A_{\xi} \}$ é estacionário. Chamamos a sequência $\langle A_{\xi} : \xi <\omega_{1} \rangle $ de sequência $\Diamond$.
2 Este é um roteiro para mostrar que o Princípio $\Diamond$ é mais forte que $CH$, isto é: $\Diamond \rightarrow CH$.
2.1 Seja $A\subseteq\omega\subseteq\omega_{1}$. Note que $G=\{\xi<\omega_{1} : A\cap\xi=A_{\xi}\}$ é estacionário. Mostre que existe $\xi\in G$ tal que $\omega<\xi$.
2.2 Note que $\mathcal{P}(\omega)\subseteq \{A_{\xi}:\xi<\omega_{1}\} $.
2.3 Conclua o resultado.
Construiremos um forcing $\mathbb P$ no qual mostramos a consistência do Princípio $\Diamond$, em particular também com este novo forcing mostramos (pelo exercício anterior) a consistência de $CH$.
Considere $\mathbb P$ onde cada $p\in\mathbb P$ é uma sequência $\langle A_{\xi} : \xi <\alpha \rangle $ tal que $A_{\xi}\subseteq\xi$ e $\alpha<\omega_{1}$. Ordenamos $\mathbb P$ pela extensão usual, isto é $p\leq q$ se, e somente se, $p$ estende $q$ como sequência.
3 Mostre que $\mathbb P$ (como acima) é um forcing enumeravelmente fechado.
4 Este é um roteiro para mostrar que em $\mathbb P$ (como acima), tem-se que $1\Vdash \Diamond$.
4.1 Note que $1\Vdash\dot{\langle A_{\xi} : \xi <\omega_{1} \rangle}$. Mostraremos que $1\Vdash \langle A_{\xi} : \xi <\omega_{1} \rangle \textrm{é uma sequência}\hspace{0.1cm} \Diamond $.
4.2 Note que se $\dot{A}$ e $\dot{C}$ são tais que $1\Vdash \dot{A}\subseteq\omega_{1}$ e $1\Vdash\dot{C} \hspace{0.1cm}\textrm{é club}$, basta mostrar que $1\Vdash\exists\xi\in\omega_{1}\hspace{0.1cm}\dot{A}\cap\xi=\dot{A}_{\xi} \wedge \xi\in\dot{C}$
Previamente utilizaremos o seguinte fato:
Dado $q_{n}\leq p$, existe $q_{n+1}\leq q_{n}$ tal que existe $\alpha_{n}\in dom(q_{n+1})\setminus dom(q_{n})$ tal que $q_{n+1}\Vdash\check{\alpha}_{n}\in\dot{C}$.
4.3 Note $q_{n}\Vdash \dot{C} \hspace{0.1cm}\textrm{é um club}$, em particular $q_{n}\Vdash \dot{C} \hspace{0.1cm}\textrm{é ilimitado}$. Mostre que $q_{n}\Vdash\exists\alpha\hspace{0.1cm} \alpha\in\dot{C}\hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm}\alpha>\check{\beta}$, onde $\beta=dom(q_{n})$.
4.4 Conclua o fato.
Assim construimos as sequências $\langle q_{n} : n\in\omega \rangle $ e $\langle \alpha_{n} : n\in\omega \rangle $ tais que $q_{n+1}\leq q_{n}, \forall{n\in\omega}$, $\alpha_{n}\in dom(q_{n+1})\setminus dom(q_{n})$ e $q_{n+1}\Vdash \check{\alpha}_{n}\in\dot{C}$.
4.5 Note que $\forall{\beta}<\alpha_{n}$ tem-se que $q_{n+1}\Vdash \check{\beta}\in\dot{A}$ ou $q_{n+1}\Vdash \check{\beta}\not\in\dot{A}$.
4.6 Note que $\exists q^{´}\in\mathbb P$ tal que $q^{´}\leq q_{n}$, $\forall{n\in\omega}$.
4.7 Considere $A=\{\beta\in\alpha : q^{´}\Vdash \check{\beta}\in\dot{A}\}$ e $\alpha=\sup_{n\in\omega}{\alpha_{n}}$. Note que $q^{´}\Vdash\dot{C}\hspace{0.1cm}\textrm{é fechado}$. Mostre $q^{´}\Vdash \check{\alpha}\in\dot{C}$.
4.8 Defina $q=q^{´}\cup \{\langle \alpha , A \rangle \} $. Note que $q\Vdash \check{q(\alpha)} = \dot{A}_{\alpha}$ e $q\Vdash \check{A}=\dot{A}\cap\alpha$.
4.9 Conclua o resultado.
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