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Dado $X$ ordenado por $\leq$, $A \subset X$ é cofinal em $X$ se, para todo $x \in X$, existe $a \in A$ tal que $x \leq a$.
Seja $X$ ordenado, a cofinalidade de $X$ é o menor cardinal $k$ tal que existe $A \subset X$ com $A$ confinal em $X$ e $|A| = k$. Denotamos por $cf(X) = k$.
1 Mostre que $cf(\mathbb R) = \aleph_0$. Solução
Dado $X$ um conjunto ordenado e $k$ cardinal, $f: k \longrightarrow X$ é uma função cofinal se sua imagem é cofinal em $X$
2 Note que $cf(X) = k$ se, e só se, $k$ é o menor cardinal tal que essa função existe.
3 Seja $\alpha$ um ordinal, mostre que $cf(\alpha) = k$ se, e somente se, existe $f: k \longrightarrow \alpha$ crescente e cofinal.
4 Mostre que:
4.1 Se $\alpha = \beta +1, cf(\alpha) = 1$ .
4.2 $cf(\aleph_1) = \aleph_1$.
4.3 $cf(\aleph_\omega) = \aleph_0$. Solução
5 Mostre que dado $\kappa$ cardinal regular e $A \subset \kappa$, $A$ é ilimitado se, e somente se, $|A|. = \kappa$ DicaSolução
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