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Corpo de Conjuntos
Provavelmente você vai querer olhar a lista de álgebra de Boole antes desta.
Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $B$ é uma subálgebra de $A$ se $0, 1 \in B$ e $B$ com as operações induzidas por $A$ é uma álgebra de Boole.
1 Mostre que, dada uma álgebra de Boole $A$, $B \subset A$ é uma subálgebra se, e somente se, $B \neq \emptyset$ e $B$ é fechado pelas operações induzidas por $A$.
Dizemos que uma família $\mathcal A \subset \wp(X)$ para algum $X$ é um corpo de conjuntos se ela é uma álgebra de Boole com as operações usuais ($\cup, \cap, \smallsetminus$).
2 Seja $X$ um conjunto infinito. Mostre que $FinCofin(X)$ $= \{A \subset X: A$ é finito ou $X \smallsetminus A$ é finito$\}$ é um corpo de conjuntos.
3 Note que se $X$ é infinito, $FinCofin(X)$ não é completa.
4 Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Mostre que $\mathcal A = \{A \subset X: A$ é aberto fechado$\}$ é um corpo de conjuntos.
Seja $A$ uma álgebra de Boole. Defina $Ult(A)$ $= \{u \in \wp(A): u$ é ultrafiltro sobre $A\}$. Dado $a \in A$, defina $a^*$ $= \{u \in Ult(A): a \in u\}$.
5 Sejam $A$ uma álgebra de Boole e $a, b \in A$.
5.1 Mostre que $a^* \cup b^* = (a + b)^*$
5.2 Mostre que $a^* \cap b^* = (ab)^*$
5.3 Mostre que $(-a)^* = Ult(A) \smallsetminus a^*$
Sejam $A$ e $B$ álgebras de Boole. Dizemos que $\varphi: A \rightarrow B$ é um homomorfismo de álgebras de Boole se
- $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$
- $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
- $\varphi(1) = 1$
- $\varphi(0) = 0$ para todo $a, b \in A$. Se, além disso, $\varphi$ for bijetora, dizemos que $\varphi$ é um isomorfismo.
6 Mostre que se $\varphi: A \rightarrow B$ é homomorfismo, então $\varphi(-a) = -\varphi(a)$ para todo $a \in A$.
7 Mostre que toda álgebra de Boole é isomorfa a um corpo de conjuntos.
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