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Lema do $\Delta$-sistema
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de enumerabilidade e da lista de boa ordem.
Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Dizemos que $\mathcal F$ forma um $\Delta$-sistema de raiz $\Delta$ se, para todo $F, G \in \mathcal F$ distintos, temos que $F \cap G = \Delta$.
1 Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Mostre que são equivalentes:Solução
- $\mathcal F$ forma um $\Delta$-sistema.
- Dados $A, B \in \mathcal F$ distintos, se $a \in A \cap B$, então $a \in F$ para todo $F \in \mathcal F$.
2 Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos. Mostre que existem $n \in \omega$ e $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável tais que $|F| = n$ para todo $F \in \mathcal F'$. Solução
3 Seja $A \subset \omega_1$ enumerável. Mostre que existe $\gamma \in \omega_1$ tal que, para todo $a \in A$ $a < \gamma$. Dica Solução
4 Seja $\{F_\xi: \xi \in \omega_1\}$ família de conjuntos finitos. Suponha que não exista $a$ tal que $\{\xi: a \in F_\xi\}$ seja não enumerável. Mostre que, para cada $a$ existe $\gamma$ tal que, para todo $\eta \geq \gamma$ temos que $a \notin F_\eta$. Solução
5 Seja $\{F_\xi: \xi \in \omega_1\}$ família de conjuntos finitos. Suponha que não exista $a$ tal que $\{\xi: a \in F_\xi\}$ seja não enumerável. Mostre que, para cada $\xi$ existe $\gamma$ tal que $F_\xi \cap F_\eta = \emptyset$ para todo $\eta \geq \gamma$. Solução
6 Mostre o Lema/$\Delta$-sistema; Lema do $\Delta$-sistema: Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos. Então existe $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável que forma um $\Delta$-sistema. Dica Solução
7 Mostre que não vale a seguinte versão do lema do $\Delta$-sistema: Seja $\mathcal F$ uma família enumerável infinita de conjuntos finitos. Então existe uma subfamília $\mathcal F' \subset \mathcal F$ infinita que forma um $\Delta$-sistema. Dica
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