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Aumentando o universo
Seja $x$ um conjunto. Definimos o nome $\check{x}$ de maneira recursiva da seguinte forma: $$ \check{x} = \{(\check{y},1) : y \in x\} $$
Observe que:
- $\check{\emptyset}=\emptyset$;
- Se $x \in y$, então $\check{x} \in \text{dom}(\check{y})$.
Começamos com algumas propriedades úteis de conjuntos e nomes.
1 Sejam $x,y$ conjuntos, mostre que: Dica
1.1 Se $x \in y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 1$.
1.2 Se $x \notin y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 0$.
1.3 Se $x \subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 1$.
1.4 Se $x \not\subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 0$.
Dizemos que um nome $x$ é um 2-nome se todo $y \in \text{dom}(x)$ é 2-nome e $\text{Im}(x) \subseteq \{0,1\}$.
Exemplo:
Para todo $x$ conjunto, $\check{x}$ é um 2-nome.
2 Este é um roteiro para mostrar que se $x$ é um 2-nome, então existe um único conjunto $a$ tal que $[\![ x = \check{a} ]\!]=1$.
2.1 (Existência) Note que por hipótese de indução, temos que para todo $y \in \text{dom}(x)$ vale que $\exists a_{y}$ tal que $[\![ y = \check{a_{y}} ]\!]=1$. Considere $a=\{a_{y} : y \in \text{dom}(x) , x(y)=1\}$.
2.2 Mostre que $[\![ \check{a} = x ]\!]=1$.
2.3 (Unicidade) Se $a,b$ são conjuntos tais que $[\![ x = \check{a} ]\!]=1=[\![ x = \check{b} ]\!]$, conclua que $a=b$.
2.4 Conclua o resultado.
A partir de agora faremos uma relação entre alguns tipos de fórmulas entre uma álgebra de Boole completa $\mathcal{A}$ e a álgebra de Boole trivial $\{0,1\}$.
3 Fixada uma fórmula $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$, sejam $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos. Então $$ \varphi(x_{1},\ldots,x_{n}) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2} =1 $$
onde $[\![ \cdot ]\!]_{2}$ é tomado com relação à álgebra de Boole $\{0,1\}$. Dica
Mas mesmo quando a álgebra de Boole é qualquer ainda temos controle sobre as fórmulas $\Delta_{0}$, isto é:
4 Este é um roteiro para provar que fixada uma fórmula $\Delta_{0}$ $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$ e $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos, então $$ \varphi(x_{1},\ldots,x_{n}) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]=1 $$
4.1 Fixe uma fórmula $\Delta_{0}$ $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$. Sejam $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos. Mostre que $$[\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!] = [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2} $$ onde $[\![ \cdot ]\!]_{2}$ indica o cálculo do valor com relação à álgebra de Boole $\{0,1\}$. Dica
4.2 Conclua o resultado.
5 Usando o resultado anterior mostre que $[\![ \check{\alpha} \text{ é um ordinal} ]\!]=1$, para todo $\alpha$ ordinal. Dica
6 Mostre que o axioma do infinito tem valor $1$. Solução
Para continuar fixaremos algumas notações. Considere a relação $R = \{(a,b) \in \mathcal{A}^{2} : a \leq b\}$. Pelo que foi feito anteriormente temos $a \leq b$ se, e somente se, $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] =1$. Adotaremos então a seguinte notação $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] = [\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]$. Lembremos que formalmente $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$, de modo que faz sentido falar em $\check{(a,b)}$.
7 Mostre que se vale $a \leq b$, então $[\![ \check{a}\leq\check{b} ]\!] =1$, e se não vale $a \leq b$ temos $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=0$.
Chamamos de $\dot{G}$ o nome $$ \dot{G} = \{(\check{a},a) : a \in \mathcal{A}\} $$ onde $\mathcal{A}$ é nossa álgebra de Boole completa fixada.
8 Seja $a \in \mathcal{A}$, mostre que $[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= a$. Em particular $[\![ \check{1} \in \dot{G} ]\!]= 1$ e $[\![ \check{0} \in \dot{G} ]\!]= 0$. Dica
Para o próximo exercício você pode utilizar (sem demonstrar) o seguinte fato: se \(y\) é um nome e \(\phi\) uma fórmula, então
- \(\displaystyle [\![\exists x \in y \,\, \phi(x)]\!] = \sup_{x \in \text{dom}(y)} y(x)[\![\phi(x)]\!]\)
- \(\displaystyle [\![\forall x \in y \,\, \phi(x)]\!] = \inf_{x \in \text{dom}(y)} (y(x) \Rightarrow [\![\phi(x)]\!])\)
Mas não se preocupe, tudo isso será demonstrado nessa lista.
9 Este é um roteiro para mostrar que $[\![ \dot{G} \text{ é filtro sobre } \check{\mathcal{A}} ]\!]= 1$.
9.1 Mostre que $[\![ \dot{G} \not= \emptyset ]\!]=1$. Dica
9.2 Mostre que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \dot{G} \Rightarrow \exists r \in \dot{G} \,\, r \leq p \land r \leq q ]\!]=1$. Dica
9.3 Mostre que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \check{\mathcal{A}} \,\, p \leq q \Rightarrow q \in \dot{G} ]\!]=1$. Dica
9.4 Conclua o resultado.
Dizemos que $X\subseteq \mathcal{A}$ é denso se $0 \notin X$ e para todo $a\in \mathcal{A}$, $a \neq 0$, existe $x \in X$ tal que $x\leq a$.
10 Este é um roteiro para mostrar que se $D$ é denso em $\mathcal{A}$, então $[\![ \dot{G} \cap \check{D} \not= \emptyset ]\!]=1$.
10.1 Mostre que $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \land x \in \dot{G} ]\!]=1$. Solução
10.2 Conclua o resultado.
11 Seja $\mathcal{A}$ álgebra de Boole completa.
11.1 Mostre que se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \check{a}\subseteq\dot{G} ]\!]=1$, então $\check{a}=\{(\check{1},1) \}$.
11.2 Mostre que se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \dot{G}=\check{a} ]\!]=1$, então $\mathcal{A} = \{0,1\}$.
11.3 Conclua que se $\mathcal{A} \not= \{0,1\}$, então não existe um conjunto $a$ tal que $[\![ \check{a}=\dot{G} ]\!]=1$.
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