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Boa ordem
Dada $\leq$ uma ordem sobre $X$, dizemos que $\leq$ é uma boa ordem se, dado qualquer $A \subset X$ não vazio, existe $a \in A$ tal que $a = \min A$, isto é, $a \leq b$ para todo $b \in A$.
1 Mostre que toda boa ordem é total (isto é, dados dois elementos eles são comparáveis).Solução
2 Mostre que todo conjunto limitado superiormente num conjunto bem ordenado admite supremo.Solução
3 Mostre que todo subconjunto de um conjunto bem ordenado é bem ordenado (pela restrição da ordem original).Solução
4 Seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado. Mostre que são equivalentes:Solução
- $X$ é bem ordenado
- não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de elementos de $X$. Isto é, não existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos de $X$ tal que $x_{n + 1} < x_n$ para todo $n$.
5 Considere o conjunto $\omega \cup \{\omega\}$. Estenda a ordem de $\omega$ para esse novo conjunto fazendo com que $n < \omega$ para todo $n \in \omega$. Mostre que isso é uma boa ordem sobre esse conjunto.
Axioma (Princípio da boa ordem): Todo conjunto $X$ admite uma boa ordem.
6 Mostre que todo espaço vetorial tem base. Sugestão: Considere $\leq$ boa ordem sobre os elementos de $V$. Defina $B = \{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$, onde $[X]$ é o espaço gerado pelo conjunto $X$. Solução
Chamamos de $\omega_1$ um conjunto bem ordenado não enumerável tal que, para todo $\alpha \in \omega_1$, $\{\beta \in \omega_1: \beta < \alpha\}$ é enumerável (depois vamos ver que só existe um $\omega_1$ a menos de isomorfismos).
7 Este é um roteiro para mostrar que existe um $\omega_1$: Solução
7.1 Seja $X$ não enumerável. Considere $\leq$ uma boa ordem sobre $X$.
7.2 Para cada $x \in X$, defina $A_x = \{y \in X: y < x\}$ (usamos $y < x$ para indicar $y \leq x$ e $y \neq x$).
7.3 Suponha que não exista $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável. Mostre que $X$ é um $\omega_1$.
7.4 Suponha que exista $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável. Considere $x_0$ o menor com tal propriedade (use a boa ordem). Mostre que $A_{x_0}$ é um $\omega_1$.
7.5 Conclua que existe um $\omega_1$.
8 Seja $A$ um conjunto. Mostre que existe $I$ bem ordenado tal que $A = \{a_\xi: \xi \in I\}$, $a_\xi \neq a_\eta$ se $\xi \neq \eta$ e, para todo $\xi \in I$, $|\{a_\eta: \eta < \xi\}| < |A|$.Dica
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