Ferramentas do usuário
Algumas compactificações de $\mathbb R$
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma compactificação de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto.
1 Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c \mathbb R \setminus \mathbb R$ é unitário.Dica Solução
2 Mostre que a compactificação do exercício anterior é homeomorfa ao conjunto $\{(x, y) \in \mathbb R^2: x^2 + y^2 = 1\}$.
3 Mostre que existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R$ tem exatamente dois pontos.Solução
4 Mostre que a compactificação obtida no exercício anterior é homeomorfa a $[0, 1]$.
5 Seja $c\mathbb R$ uma compactificação para $\mathbb R$. Seja $x \in c \mathbb R \smallsetminus \mathbb R$. Seja $A$ um aberto tal que $x \in A$. Mostre que $A \cap \mathbb R$ é ilimitado em $\mathbb R$.Solução
6 Vamos mostrar que não existe uma compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R$ tem exatamente $3$ pontos.
6.1 Suponha que exista compactificação $c\mathbb R$ para $\mathbb R$ tal que $c\mathbb R \setminus \mathbb R = \{a, b, c\}$ com $a, b, c$ distintos. Mostre que existem $A, B, C$ abertos disjuntos tais que $a \in A$, $b \in B$ e $c \in C$.
6.2 Mostre que $c \mathbb R \setminus (A \cup B \cup C)$ é um compacto contido em $\mathbb R$.
6.3 Mostre que existe um intervalo fechado $[\alpha, \beta]$ tal que $c \mathbb R \setminus (A \cup B \cup C) \subset [\alpha, \beta]$.
6.4 Mostre que pelo menos dois dos conjuntos $A, B, C$ são ilimitados em $]\beta, +\infty[$ ou pelo menos dois deles são ilimitados em $]-\infty, \alpha[$.
6.5 Mostre que $]\beta, +\infty[$ ou $]-\infty, \alpha[$ podem ser escritos como união de dois abertos disjuntos.
6.6 Note que o último item é uma contradição. Dica
Ferramentas da página
