Topologia e conjuntos em exercícios

1 Observe que $S^B_{fin}(O,O)$ implica $S_{fin}(O,O)$. Mostre que $S_{fin}(O,O)$ implica $S^B_{fin}(O,O)$. Dica Solução

O Objetivo desta lista é mostrar que $S_{fin}(O,O)$ é equivalente ao jogador $I$ não possuir estratégia vencedora em $G_{fin}(O,O)$.

2 Mostre que $\neg S_{fin}(O,O)$ implica que $I$ possui estratégia vencedora em $G_{fin}(O,O)$.

3 Mostre que se $I$ possui estratégia vencedora em $G_{fin}(O,O)$ implica que $I$ possui estratégia vencedora em $G^B_{fin}(O,O)$.

Com isso teremos: \[\neg S_{fin}(O,O)\Rightarrow I\uparrow G_{fin}(O,O)\Rightarrow I\uparrow G^B_{fin}(O,O)\Rightarrow \neg S_{fin}(O,O)\]

Faremos um roteiro para mostrar a última implicação. Feito isso teremos a equivalência desejada.

4 Assumindo $S_{fin}(O,O)$ mostre que $X$ é Lindelöf. Mostre também quem nos jogos $G_{fin}(O,O)$ e $G^B_{fin}(O,O)$ podemos considerar que o jogador $I$ joga coberturas enumeráveis e crescentes e o jogador $II$ joga um elemento ao invés de finitos.

Fixada uma estratégia para o jogador $I$ podemos indentificá-la por uma família $\{U_{\sigma}:\sigma\in^{<\omega}\omega\}$ tal que para cada $\sigma\in^{<\omega}\omega$ $\{U_{\sigma^{\frown} i}i\in\omega\}$ é uma cobertura crescente para $X$. Estamos buscando $s\in^{\omega}\omega$ tal que $\forall x\in X$ $\exists^{\infty}n\in\omega$ tal que $x\in U_{s\upharpoonright n}$.

5 Para naturais $j>0$ e $k,m\geq0$ defina: \[V_k(m,j)=\bigcap_{\tau\in^{m}j}U_{\tau^{\frown}k}.\] Observe que ``$m$'' é o número de jogadas feitas por $I$. E se $I$ jogar $(C_n)_{n\in\omega}$ $II$ pode escolher um elemento dentre os $j$'s primeiros elementos. Mostre que $\{V_k(m,j):k\in\omega\}$ é uma cobertura crescente para $X$.Dica Solução

6 Para $j>0$, $k\geq j$, $m\geq0$ e $n\geq2$ sejam: \[A_{j,k}^n=\{f\in^{<\omega}\omega:f(0)=j, f(p)=k, dom(f)=p+1\leq n, f(a)\leq f(a+1), a+1\in dom(f)\}\] e \[W_k^n(m,j)=\bigcup_{f\in A_{j,k}^n}\bigcap_{i=0}^{dom(f)-2}V_{f(i+1)}(m+i,f(i)).\] Note que $A_{j,k}^n$ é o conjunto das partições entre $j$ e $k$ de tamanho no máximo $n$. Mostre que $\{W_k^n(m,j):k\geq j\}$ é uma cobertura crescente para $X$.Dica Solução

7 Então, $\{W_k^n(m,j):k\geq j\}_{n\in\omega}$ é uma sequência de coberturas crescentes. Mostre que assumindo $S_{fin}(O,O)$ existe $t_{m,j}\in^{\omega}\omega$ tal que $\forall x\in X$ $\exists^{\infty}n\in\omega$ tal que $W^n_{t_{m,j}(n)}(m,j)$.

8 Mostre que existe $s\in^{\omega}\omega$ estritamente crescente e para cada $m\geq0$ e $j>0$ à menos de finitos $n$'s temos que $s(m+n)\geq t_{m,j}(n)$. Dica Solução

Então, $\forall x\in X$ $\forall m,j$ $\exists n\in\omega$ tal que $x\in W^n_{s(m+n)}(m,j)$.

9 Finalmente vamos mostrar que $\forall x\in X$ $\exists^{\infty}n\in\omega$ tal que $x\in U_{s\upharpoonright n}$. Suponha que essa afirmação não valha. Então existe $x\in X$ tal que para finitos $n$'s $x\in U_{s\upharpoonright n}$, ou seja, existe $m\in\omega$ suficientemente grande tal que $\forall n\in\omega$ $x\notin U_{s\upharpoonright(m+n)}$. Em particular, existe $n\in\omega$ com $x\in W_{s(m+n)}^n(m,s(m))$. Logo, existe $f\in^{\omega}\omega$ monótona crescente com $f(0)=s(m)$ e $f(p-1)=s(m+n)$ onde $dom(f)=p$ tal que \[x\in\bigcap_{i=0}^{dom(f)-1}V_{f(i+1)}(m+i,f(i))\] Observe que $s\upharpoonright m\in ^{m}f(0)$ (justificar), $x\in V_{f(1)}(m,f(0))$ e $x\notin U_{s\upharpoonright m^{\frown}s(m)}$, então $f(1)>s(m)$. Note que $s\upharpoonright(m+1)\in ^{m+1}f(1)$ (justificar), $x\in V_{f(2)}(m+1,f(1))$ e $x\notin U_{s\upharpoonright(m+1)^{\frown}s(m+1)}$, então $f(2)>s(m+1)$. Procedendo dessa maneira teremos que $f(p-1)>s(m+n)$ o que é uma contradição.