Topologia e conjuntos em exercícios

1 Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^2$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^2$.Solução

2 Mostre que não existe uma família $\mathcal F$ de esferas disjuntas em $\mathbb R^3$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^3$.Solução

3 Mostre que existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^2 \smallsetminus \{(0, 0)\}$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F}C = \mathbb R^2 \smallsetminus \{(0, 0)\}$.Solução

4 Mostre que, para cada ponto $p \in \mathbb R^3$, existem $\mathfrak c$ planos que contém $p$.Solução

5 Mostre que dado $p \in \pi$, $\pi$ plano, existem $\mathfrak c$ círculos contém $p$ e contidos em $\pi$. Solução

6 Seja $\mathcal F$ uma família de círculos em $\mathbb R^3$ com $|\mathcal F| < \mathfrak c$ e seja $p \notin \bigcup_{C \in \mathcal F} C$.

6.1 Mostre que existe $\pi$ plano tal que $p \in \pi$ e $C \not \subset \pi$ para todo $C \in \mathcal F$. Solução

6.2 Mostre que se $\pi$ é um plano tal que $C \not \subset \pi$ para todo $C \in \mathcal F$, então existe um círculo $D$ tal que $p \in D \subset \pi$ e $D \cap C = \emptyset$ para todo $C \in \mathcal F$.Solução

6.3 Mostre que existe uma família $\mathcal F$ de círculos disjuntos em $\mathbb R^3$ de forma que $\bigcup_{C \in \mathcal F} C = \mathbb R^3$. Solução