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Aquecimento para o Axioma de Martin
É melhor você já ter feito a lista do Axioma de Martin.
O resultado desta lista não necessita de qualquer axioma extra a ZFC - inclusive existem demonstrações mais elementares do que a apresentada aqui. Mas a forma apresentada é um bom aquecimento para o uso do Axioma de Martin.
Dizemos que uma ordem total $\leq$ sobre $X$ é uma ordem densa se, dados $a < b \in X$, existe $c$ tal que $a < c$ e $c < b$1).
25 Note que as ordens usuais sobre $\mathbb Q$ e $\mathbb R$ são densas, enquanto que as sobre $\mathbb Z$ e $\mathbb N$ não são.
Dados $(X, \leq)$ e $(Y, \preceq)$ dois conjuntos ordenados, dizemos que $f: X \to Y$ é um isomorfismo de ordem se $f$ é bijetora e, dados $a, b \in X$, temos que $a \leq b$ se, e somente se, $f(a) \preceq f(b)$.
26 Mostre que o conjunto $\mathbb Q \cap [0, 1]$ não é isomorfo a $\mathbb Q$ (com usas ordens usuais).
Vamos apresentar uma caracterização de $\mathbb Q$ em termos de ordem.
27 Seja $X$ um conjunto enumerável com ordem densa e sem maior nem menor elemento. Considere $\mathbb P$ o conjunto de todas as funções $f$ tais que domínio de $f$ é um subconjunto finito de $X$ e, dados $a, b$ no domínio de $f$ com $a < b$, temos que $f(a) < f(b)$. Sobre $\mathbb P$, considere a ordem usual da extensão (isto é, $p \leq q$ se $p \supset q$).
27.1 Dado $x \in X$, mostre que $D_x = \{f \in \mathbb P: x \in dom(f)\}$ é denso em $\mathbb P$.
27.2 Dado $q \in \mathbb Q$, mostre que $E_q = \{f \in \mathbb P: q \in Im(f)\}$ é denso em $\mathbb P$.
27.3 Seja $G$ um filtro tal que $G \cap D_x \neq \emptyset$ e $G \cap E_q \neq \emptyset$ para todo $x \in X$ e $q \in \mathbb Q$ (existe, certo?). Mostre que $\bigcup_{f \in G} f$ é um isomorfismo entre $X$ e $\mathbb Q$.
28 Mostre que $\mathbb Q \setminus \{0\}$ é isomorfo a $\mathbb Q$.
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