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Árvore de Aronszajn
$\def\dom{\text{dom}}$
Provavelmente você vai querer ter feito a lista de árvores antes desta.
Durante toda esta lista, $T$ denota uma árvore satisfazendo
- $\emptyset \in T$;
- cada $t \in T$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb Q$;
- se $t \in T$, então $\{t^\smallfrown q: q \in \mathbb Q$ e $\forall x \in \dom(t) \ q > t(x)\} \subset T$.
Em $T$, dizemos que $t \leq s$ se $t \subset s$.
29 Note que se $T$ é uma árvore como acima, então $h(T) \geq \omega$.
30 Note que se $R \subset T$ é um ramo, então $\bigcup_{t \in R} t$ é uma função de um ordinal $\alpha$ em $\mathbb Q$ estritamente crescente.
31 Mostre que $T$ não admite ramos não enumeráveis.
32 Suponha $T$ uma árvore como acima, tal que $h(T) = \omega$.
32.1 Note que $T$ é enumerável.
32.2 Note que $T$ tem uma quantidade não enumerável de ramos.
32.3 Note que alguns ramos de $T$ não são estendíveis (isto é, não há como acrescentar um elemento acima dos elementos de um ramo $R$ de forma que a função formada pela união dos elementos de $R$ ainda fique estritamente crescente).
32.4 Para cada $q \in \mathbb Q$, mostre que existe um ramo $R$ de forma que $\bigcup R \cup \{(\omega, q)\}$ é uma função estritamente crescente.
32.5 Para cada $q \in \mathbb Q$ encontre $R_q$ ramo como no item anterior. Note que $T \cup \{R_q: q \in \mathbb Q\}$ é uma árvore de altura $\omega + 1$ enumerável.
32.6 A árvore construída no item anterior não satisfaz as condições impostas acima. Você consegue arrumar?
33 A ideia neste exercício é melhorar o exercício anterior. Comece da mesma maneira, com uma $T$ tal que $h(T) = \omega$. Para cada $t \in T$, seja $q_t = t(n)$, onde $n$ é último elemento do domínio de $t$.
33.1 Para cada $t \in T$ e cada $q \in \mathbb Q$ tal que $q_t < q$, mostre que existe um ramo $R$ tal que $t \in R$ e $\bigcup R \cup \{(\omega, q)\}$ é estritamente crescente.
33.2 Construa um novo nível $N$ para a árvore $T$ tal que:
- $N$ é enumerável;
- todo elemento de $N$ tem altura $\omega$;
- se $R$ é um ramo em $T \cup N$, então $\bigcup R$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb Q$;
- dados $t \in T$ e $q \in \mathbb Q$ tais que $q_t < q$, existe $n \in N$ tal que $t \leq n$ e $n(\omega) = q$.
Dizemos que uma árvore $T$ é bem podada se, dados $t \in T$, e $\alpha$ ordinal tal que $h(t) < \alpha < h(T)$, temos que existe $s \in T$ tal que $h(s) = \alpha$ e $t \leq s$.
O próximo exercício é imediato para quem tem experiência com cofinalidade.
34 Seja $\alpha$ ordinal limite tal que $\omega < \alpha < \omega_1$. Mostre que existe $f: \omega \to \alpha$ estritamente crescente tal que $\sup\{f(n): n \in \omega\} = \alpha$.
35 Suponha $T$ uma árvore enumerável tal que $\omega < h(T) < \omega_1$ que satisfaça as condições acima e é bem podada.
35.1 Note que, como $T$ satisfaz as condições acima, $h(T)$ é limite.
35.2 Mostre que podemos estender $T$ para uma árvore $T'$ de altura estritamente maior de forma que $T'$ é enumerável, satisfaz as condições acima e é bem podada.
Chamamos de uma árvore de Aronszajn uma árvore de altura $\omega_1$, sem ramos não enumeráveis e sem níveis não enumeráveis.
36 Mostre que existe uma árvore de Aronszajn.
37 Compare o exercício anterior com o enunciado do Lema de König. Note que isso atesta que uma certa generalização do lema é impossível.
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