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Teorema de Stone-Weierstrass
Este teorema é uma generalização do teorema de aproximação de Weierstrass. (entretanto na sua demonstração utilizamos o teorema de aproximação de Weierstrass)
Seja $C^0(M)$ o espaço de funções contínuas de um espaço métrico compacto $M$. Dizemos $\mathcal{A} \subset C^0(M)$ é álgebra de funções se:
- $f, g \in \mathcal{A}, c \in \mathbb{R} $ então $cf+g \in \mathcal{A}$
- $f, g \in \mathcal{A}$ então $f.g \in \mathcal{A}.$
Além disso, dizemos que $\mathcal{A}$ nunca zera se para todo $x \in M$ existe $f \in \mathcal{A}$ tal que $f(x) \neq 0.$
Dizemos que $\mathcal{A}$ separa pontos de $M$ se para quaisquer $x \neq y \in M$ existe $f \in \mathcal{A}$ tal que $f(x) \neq f(y).$
Teorema (Stone-Weierstrass):
Seja $\mathcal{A} \subset C^{0}(M)$ uma álgebra que nunca zera e separa pontos, então $\mathcal{A}$ é denso em $C^0(M).$
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