Lebesgue mensuráveis
“à la Littlewood” : Um subsconjunto $E \subset \mathbb{R}^d$ é Lebesgue mensurável se para todo $\epsilon > 0 $ existe um conjunto aberto $U$ tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$ Quando $E$ é mensurável denotamos $m(E) := m^*(E)$ por medida de Lebesgue de $E$.
Carathéodory: Um subconjunto $E$ é Lebesgue mensurável se para todo subconjunto $A \subset \mathbb{R}^d$ temos $$ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}). $$
As definições acima são equivalentes!
Exemplo: Todo conjunto $E$ com medida exterior nula é Lebesgue mensurável. Para verificar definição de Caratheodory basta verificar que $m^*(A) \geq m(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}).$ Entretanto $m^{*}(A \cap E) = 0$ e por inclusão de $(A \cap E^{c}$ em $A$ obtemos a desigualdade. Por definição/propriedade de medida exterior $m^*(A) \leq m(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c})$
É conhecido que qualquer conjunto aberto em $\mathbb{R}$ é uma união enumerável de intervalos abertos. Em dimensão mais alta podemos provar que um conjunto aberto é união de enumerável caixas fechadas (ou cubos) essencialmente disjuntas. Isto quer dizer que as caixas intersectam no máximo na sua fronteira. Para provar este fato podemos utilizar cubos diádicos $$ [\frac{i_1}{2^n}, \frac{i_1+1}{2^n}] \times \cdots \times [\frac{i_d}{2^n}, \frac{i_d+1}{2^n}] $$ Uma propriedade importante destes cubos é que constituem uma família enumerável e além disto tem propriedade de encaixe! Cada cubo de lado $\frac{1}{2^n}$ tem exatamente $2^d$ cubos “filhos” de lado $\frac{1}{2^{n+1}}.$
Seja $U$ abero. Para cada $x\in U$ escolhe um cubo diádico fechado $B_x$ que esteja totalmente dentro de $U$. (observe que a união de cubos diádicos FECHADOS de $n$'ésima geração cobre todo $\mathbb{R}^d.$) Claro que $\cup_{x \in U} B_x = U$. Pode ser que esta união seja não enumerável. Porém se descartamos cubos iguais essa união é enumerável, pois o conjunto de todos os cubos diádicos é enumerável! Apenas falta verificar que podemos escolher $B_x$ quase disjuntos. Para isto observem que dois cubos diádicos ou são quase disjuntos ou um está dentro de outro. Basta eliminar todos os cubos que estão dentro de um cubo e ficar ainda com uma união enumerável e quase-disjunta.
Aponte o erro de seguinte argumento: Dado qualquer aberto $U$ para cada $x \in U$ toma um cubo diádico aberto $B_x$ contendo $x$ e assim $\cup_{x \in U} B_x = U.$ Lembre que cubos diádicos ou são encaixados ou disjuntos (quando aberto eles são disjunto mesmo!) e assim podemos achar uma coleção enumerável de cubos diádicos que $U = \cup_{i=1}^{\infty} B_{x_i}.$
Na demonstração de cobrir um aberto por enumerável cubos diádicos fechados não utilizamos a propriedade de Lindelof. Entretanto surgiu uma curiosidade. Veja aqui.
Lema (Regularidade exterior): Dado $E \subset \mathbb{R}^d$ temos $m^*(E) = inf \{m^{*}(U); U \quad \text{aberto} E \subset U\}$
Observe que o lema acima não está mostrando que todo conjunto $E$ é Lebesgue mensurável! Por quê?
Demonstração: Por monotonicidade temos $m^*(E) \leq inf \{m^{*}(U); U \quad \text{aberto} E \subset U\}$ e para provar outro sentido da desigualdade consideramos uma família de cubos $B_i$ que aproximam a medida exterior e depois engordamos um pouco os $B_i$ para ficarem caixas abertas a custo de aumentar seu volume apenas $\frac{\epsilon}{2^i}...$
Uma propriedade interessante de medida exterior de Lebesgue:
Sejam $E, F \subset \mathbb{R}^d$ tal que $dist(E, F) := inf\{|x-y|, x \in E, y \in F\} > 0$; então: $$ m^*(E \cup F) = m^*(E) + m^*(F). $$ Além disso se E, F fechado e um deles compacto sempre a distância é positiva (exercício de espaço métrico)
Observem que a aditividade afirmada acima não vale em geral para subconjuntos. Entretanto quando $E, F$ são Lebesgue mensuráveis não precisamos de hipotese de distância positiva para ter aditividade.
Demonstração: Pela subatitividade basta verificar que $m^*(E \cup F) \geq m^*(E) + m^*(F).$ Pela definição de medida exterior cobrimos $E \cup F$ com cubos “muito pequenos” (digamos menor do que metade de distÂncia entre dois conjuntos) e ai podemos dividir os cubos em dois subconjuntos: os que intersectam E e os que intersectam F.
Usando definição de Lebesgue mensurabilidade “à la Littlewood” podemos mostrar que
- os conjuntos abertos são Lebesgue mensuráveis. De fato usando definição conjuntos abertos obviamente são Lebesgue mensuráveis.
- união enumerável de conjuntos mensuráveis é mensurável: apenas usar argumentos de tipo $\epsilon/2^i$
- os conjuntos fechados são Lebesgue mensuráveis: Dado $E$ fechado vamos supor que é limitado (como generalizar em caso geral?) e pela regularidade exterior existe $U$ contendo $E$ tal que $m^* (U) \leq m^*(E) + \epsilon.$ Porém precisamos mostrar que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$ Escreva $U \setminus E$ como união enumerável de cubos diádicos e fechados e quase-disjuntos. Agora lembre que dado $N$ fixo, $\bigcup_{i=1}^{N} Q_i$ é fechado e disjunto de $E$ e portanto
$$ m^*(E \cup \bigcup_{i=1}^{N} Q_i ) = m^*(E) + m^*(\bigcup_{i=1}^{N} Q_i) $$ Pela monotonicidade de medida exterior o lado esquerdo é menor do que $m^*(U) \leq m^*(E) + \epsilon.$ Já que $m^*(E) < \infty$ concluimos que $m^*(\bigcup_{i=1}^{N} Q_i) \leq \epsilon.$Já que isto vale para todo $N$ concluimos que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon. $
- Complemento de um conjunto mensurável é mensurável e finalmente acabamos de mostrar que os conjuntos mesuráveis formam uma $\sigma-$algebra que denotamos por $\sigma-$álgebra de Lebesgue. Para provar essa afirmação, considere $F := E^c$ e $U_n$ tais que $m^*(U_n \setminus E) \leq 1/n$. Então $F_n := U_n^c$ são fechados e $ F_n \subset F $ e $m^*(F \ \bigcup F_n) =0.$ Portanto $F$ se escreve como união de um conjunto de medida nula $F \ \bigcup F_n$ e $ \bigcup F_n$ que ambos são mensuráveis.
Exercício: Existem conjuntos Lebesgue mensuráveis que não são Borel. Entretanto para todo conjunto Lebesgue mensurável $E$ existe algum conjunto $F$ na $\sigma$-algebra de Borel com tal que $m^*(E \Delta F) = 0.$
Cereja do bolo
Agora que introduzimos conjuntos Lebesgue mensuráveis (conjutos que merecem ter medida!) vamos verificar uma propriedade (Axioma) de medida de Lebesgue:
- $m(\emptyset) =0,$
- (aditividade enumerável) $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n)$ quando $E_n$ são conjuntos Lebesgue mensuráveis e disjuntos.
Demonstração: Quando $E_n$ são compactos, fixamos $N$ e teremos (para compactos a equação a seguiro foi provado anteriormente, pois há distância positiva entre eles) $$ m(\cup_{i=1}^{N} E_i) = \sum_{i=1}^{N} m(E_i) $$ e portanto $m(\cup_{i=1}^{\infty} E_i) \geq \sum_{i=1}^{\infty} m(E_i) $ por outro lado temos sub-aditividade e portanto concluimos igualdade (aditividade enumerável) desejada.
Agora se $E_n$ for apenas limitado e não necessariamente compacto. Pela mensurabilidade existem $K_n \subset E_n$ fechados (e portanto compacto) tais que $m(E_n) \leq m(K_n) + \frac{\epsilon}{2^n}.$ Então $\sum_{n=1}^{\infty} m(E_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m(K_n) + \epsilon = m(\bigcup K_n) + \epsilon \leq_{\text{monotonicidade}} m(\bigcup E_n) + \epsilon. $
Pela subaditividade temos também que $$m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n) $$ e portanto concluimos $$ m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n). $$
Finalmente caso em que $E_n$ não são limitados ou fechados. Basta dividir $\mathbb{R}^d$ como união disjunta de conjuntos limitados e mensuráveis $A_n$ e considerar para cada $E_m$, $E_m \cap A_n$ e teremos $$ m(E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_m \cap A_n) $$ e depois somamos sobre todos os $n.$
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