Temos definidos de duas formas os conjuntos Lebesgue mensuráveis:

1. (Carathéodory) $E$ é mensurável se para todo $A \subset \mathbb{R}^d$ vale $$ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c})$$
2. Para todo $\epsilon > 0$ existe aberto $U$ tal que $$m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$$

Vamos mostrar a equivalência destas duas definições.

(1) $\rightarrow$ (2): Pela regularidade exterior teos $U$ tal que $m^*(U) \leq m^*(E) + \epsilon.$ Agora pela (1) temos (substituindo $U$ por $A$ na definição de Carathéodory) $$ m^*(U) = m^*(E) + m^*(U \setminus E)$$ e portanto $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$

Agora vamos mostrar que (2) $\rightarrow$ (1). Primeiramente observe que pela (2) temos $U$ tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$

Lembre que basta mostrar que para qualquer $A$ temos $m^*(A) \geq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}).$

Vamos usar um lema que quase termina a demonstraçaõ:

Seguindo com a demonstração:

$$m^*(A) = m^*(A \cap U) + m^*(A \cap U^{c}) \geq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap U^{c}) $$ Entretanto $A \cap E^c \subset (A \cap U^c) \bigcup (U \setminus E)$ e portanto pela subaditividade temos $$ m^*(A \cap U^{c}) \geq m^*(A \cap E^c) - m^*(U \setminus E) \geq m^*(A \cap E^c) - \epsilon. $$ e portanto concluimos que $$ m^*(A) \geq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}) - \epsilon.$$

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Demonstração do Lema (conjuntos abertos são Carathéodory mensurável): Pela regularidade exterior podemos tomar $G$ aberto tal que $m^*(G) \leq m^*(A) + \epsilon.$ Basta então mostrar que $$m^*(G) = m^*(G \cap U) + m^*(G \cap U^c)$$ que pode ser verificado, por exemplo, usando a aditividade de medida para conjuntos mensuráveis disjuntos.

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A definição à la Littlewood parece mais intuitiva, porém a definição Carathéodory pode ser utilizada em espaços mais abstratos. Essencialmente dada qualquer medida exterior, i.e uma função $f: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ satisfazendo

• $f(\emptyset)=0$
• $E \subset F$ então $f(E) \leq f(F)$
• subatividade : $f(\cup E_n) \leq \sum f(E_n)$

Podemos definir $E$ mensurável se satisfizer a condição de Carathéodory. Assim podemos definir que a classe de conjuntos mensuráveis é uma sigma-álgebra.

De fato primeiramente mostramos que é uma álgebra. Vamos ver , por exemplo, que a união de dois conjuntos mensurável é mensurável. Precisamos mostrar que para qualquer $A \subset X$

$$ f(A) = f(A \cap (E \cup F)) + f(A \cap (E \cup F)^c) $$ Observe que $f(A \cap (E \cup F)) = f(A \cap (E \cup F) \cap E) + f(A \cap (E \cup F) \cap E^c) = f(A \cap E ) + f(A \cap F \cap E^c) $ agora somando este termo com $f(A \cap (E \cup F)^c)= f(A \cap E^c \cup F^c)$ e usando mensurabilidade de $F$ obteremos $f(A \cap E) + f(A \cap E^c) = f(A).$ Duas vezes usamos a definição de mensurabilidade de $E$.

Agora que temos álgebra de conjuntos mensuráveis, podemos provar que temos de fato sigma-álgebra. Aqui vamos usar essencialmente a propriedade substividade de medida exterior.

Por efeito, sejam $E_n$ mensuráveis e vamos provar que $E:= \cup E_n$ é mensurável. Denotamos por $F_n:= \cup_{i=1}^{n} E_i$ e portanto $F_n \subset E$ e consequentemente $E^c \subset F_n^{c}.$

Observe que $$ f(A) = f(A \cap F_n) + f(A \cap F_n^c) = \sum_{i=1}^{n} f(A \cap E_i) + f(A \cap F_n^c) $$

$$ \geq_{\text{monotonicidade}} \sum_{i=1}^{n} f(A \cap E_i) +f(A \cap E^c) $$

Já que para todo $n$ temos o resultado acima, então

$$ f(A) \geq \sum_{i=1}^{\infty} f(A \cap E_i) +f(A \ E^c) \geq_{\text{subaditividade}} f(A \cap E) + f(A \cap E^c) $$ e isto mostra que $E$ é mensurável.