Lebesgue mensuráveis

“à la Littlewood” : Um subsconjunto $E \subset \mathbb{R}^d$ é Lebesgue mensurável se para todo $\epsilon > 0$ existe um conjunto aberto $U$ tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$ Quando $E$ é mensurável denotamos $m(E) := m^*(E)$ por medida de Lebesgue de $E$ .

Carathéodory: Um subconjunto $E$ é Lebesgue mensurável se para todo subconjunto $A \subset \mathbb{R}^d$ temos $m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}).$

As definições acima são equivalentes!

Exemplo: Todo conjunto $E$ com medida exterior nula é Lebesgue mensurável. Para verificar definição de Caratheodory basta verificar que $m^*(A) \geq m(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c}).$ Entretanto $m^{*}(A \cap E) = 0$ e por inclusão de $(A \cap E^{c}$ em $A$ obtemos a desigualdade. Por definição/propriedade de medida exterior $m^*(A) \leq m(A \cap E) + m^*(A \cap E^{c})$

É conhecido que qualquer conjunto aberto em $\mathbb{R}$ é uma união enumerável de intervalos abertos. Em dimensão mais alta podemos provar que um conjunto aberto é união de enumerável caixas fechadas (ou cubos) essencialmente disjuntas. Isto quer dizer que as caixas intersectam no máximo na sua fronteira. Para provar este fato podemos utilizar cubos diádicos $[\frac{i_1}{2^n}, \frac{i_1+1}{2^n}] \times \cdots \times [\frac{i_d}{2^n}, \frac{i_d+1}{2^n}]$ Uma propriedade importante destes cubos é que constituem uma família enumerável e além disto tem propriedade de encaixe! Cada cubo de lado $\frac{1}{2^n}$ tem exatamente $2^d$ cubos “filhos” de lado $\frac{1}{2^{n+1}}.$

Seja $U$ abero. Para cada $x\in U$ escolhe um cubo diádico fechado $B_x$ que esteja totalmente dentro de $U$ . (observe que a união de cubos diádicos de $n$ 'ésima geração cobre todo $\mathbb{R}^d.$ ) Claro que $\cup_{x \in U} B_x = U$ . Pode ser que esta união seja não enumerável. Porém se descartamos cubos iguais essa união é enumerável, pois o conjunto de todos os cubos diádicos é enumerável! Apenas falta verificar que podemos escolher $B_x$ quase disjuntos. Para isto observem que dois cubos diádicos ou são quase disjuntos ou um está dentro de outro. Basta eliminar todos os cubos que estão dentro de um cubo e ficar ainda com uma união enumerável e quase-disjunta.

Aponte o erro de seguinte argumento: Dado qualquer aberto $U$ para cada $x \in U$ toma um cubo diádico aberto $B_x$ contendo $x$ e assim $\cup_{x \in U} B_x = U.$ Lembre que cubos diádicos ou são encaixados ou disjuntos (quando aberto eles são disjunto mesmo!) e assim podemos achar uma coleção enumerável de cubos diádicos que $U = \cup_{i=1}^{\infty} B_{x_i}.$

Na demonstração de cobrir um aberto por enumerável cubos diádicos fechados não utilizamos a propriedade de Lindelof. Entretanto surgiu uma curiosidade. Veja aqui.

Lema (Regularidade exterior): Dado $E \subset \mathbb{R}^d$ temos $m^*(E) = inf \{m^{*}(U); U \quad \text{aberto} E \subset U\}$

Observe que o lema acima não está mostrando que todo conjunto $E$ é Lebesgue mensurável! Por quê?

Demonstração: Por monotonicidade temos $m^*(E) \leq inf \{m^{*}(U); U \quad \text{aberto} E \subset U\}$ e para provar outro sentido da desigualdade consideramos uma família de cubos $B_i$ que aproximam a medida exterior e depois engordamos um pouco os $B_i$ para ficarem caixas abertas a custo de aumentar seu volume apenas $\frac{\epsilon}{2^i}...$

Uma propriedade interessante de medida exterior de Lebesgue:

Sejam $E, F \subset \mathbb{R}^d$ tal que $dist(E, F) := inf\{|x-y|, x \in E, y \in F\} > 0$ ; então: $m^*(E \cup F) = m^*(E) + m^*(F).$ Além disso se E, F fechado e um deles compacto sempre a distância é positiva (exercício de espaço métrico)

Observem que a aditividade afirmada acima não vale em geral para subconjuntos. Entretanto quando $E, F$ são Lebesgue mensuráveis não precisamos de hipotese de distância positiva para ter aditividade.

Demonstração: Pela subatitividade basta verificar que $m^*(E \cup F) \geq m^*(E) + m^*(F).$ Pela definição de medida exterior cobrimos $E \cup F$ com cubos “muito pequenos” (digamos menor do que metade de distÂncia entre dois conjuntos) e ai podemos dividir os cubos em dois subconjuntos: os que intersectam E e os que intersectam F.

Usando definição de Lebesgue mensurabilidade “à la Littlewood” podemos mostrar que

os conjuntos abertos são Lebesgue mensuráveis. De fato usando definição conjuntos abertos obviamente são Lebesgue mensuráveis.
união enumerável de conjuntos mensuráveis é mensurável: apenas usar argumentos de tipo $\epsilon/2^i$
os conjuntos fechados são Lebesgue mensuráveis: Dado $E$ fechado vamos supor que é limitado (como generalizar em caso geral?) e pela regularidade exterior existe $U$ contendo $E$ tal que $m^* (U) \leq m^*(E) + \epsilon.$ Porém precisamos mostrar que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$ Escreva $U \setminus E$ como união enumerável de cubos diádicos e fechados e quase-disjuntos. Agora lembre que dado $N$ fixo, $\bigcup_{i=1}^{N} Q_i$ é fechado e disjunto de $E$ e portanto

$m^*(E \cup \bigcup_{i=1}^{N} Q_i ) = m^*(E) + m^*(\bigcup_{i=1}^{N} Q_i)$ Pela monotonicidade de medida exterior o lado esquerdo é menor do que $m^*(U) \leq m^*(E) + \epsilon.$ Já que $m^*(E) < \infty$ concluimos que $m^*(\bigcup_{i=1}^{N} Q_i) \leq \epsilon.$ Já que isto vale para todo $N$ concluimos que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$

Complemento de um conjunto mensurável é mensurável e finalmente acabamos de mostrar que os conjuntos mesuráveis formam uma $\sigma-$ algebra que denotamos por $\sigma-$ álgebra de Lebesgue. Para provar essa afirmação, considere $F := E^c$ e $U_n$ tais que $m^*(U_n \setminus E) \leq 1/n$ . Então $F_n := U_n^c$ são fechados e $F_n \subset F$ e $m^*(F \ \bigcup F_n) =0.$ Portanto $F$ se escreve como união de um conjunto de medida nula $F \ \bigcup F_n$ e $\bigcup F_n$ que ambos são mensuráveis.

Exercício: Existem conjuntos Lebesgue mensuráveis que não são Borel. Entretanto para todo conjunto Lebesgue mensurável $E$ existe algum conjunto $F$ na $\sigma$ -algebra de Borel com tal que $m^*(E \Delta F) = 0.$

Cereja do bolo

Agora que introduzimos conjuntos Lebesgue mensuráveis (conjutos que merecem ter medida!) vamos verificar uma propriedade (Axioma) de medida de Lebesgue:

$m(\emptyset) =0,$
(aditividade enumerável) $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n)$ quando $E_n$ são conjuntos Lebesgue mensuráveis e disjuntos.

Demonstração: Quando $E_n$ são compactos, fixamos $N$ e teremos (para compactos a equação a seguiro foi provado anteriormente, pois há distância positiva entre eles) $m(\cup_{i=1}^{N} E_i) = \sum_{i=1}^{N} m(E_i)$ e portanto $m(\cup_{i=1}^{\infty} E_i) \geq \sum_{i=1}^{\infty} m(E_i)$ por outro lado temos sub-aditividade e portanto concluimos igualdade (aditividade enumerável) desejada.

Agora se $E_n$ for apenas limitado e não necessariamente compacto. Pela mensurabilidade existem $K_n \subset E_n$ fechados (e portanto compacto) tais que $m(E_n) \leq m(K_n) + \frac{\epsilon}{2^n}.$ Então $\sum_{n=1}^{\infty} m(E_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m(K_n) + \epsilon = m(\bigcup K_n) + \epsilon \leq_{\text{monotonicidade}} m(\bigcup E_n) + \epsilon.$

Pela subaditividade temos também que $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n)$ e portanto concluimos $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n).$

Finalmente caso em que $E_n$ não são limitados ou fechados. Basta dividir $\mathbb{R}^d$ como união disjunta de conjuntos limitados e mensuráveis $A_n$ e considerar para cada $E_m$ , $E_m \cap A_n$ e teremos $m(E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_m \cap A_n)$ e depois somamos sobre todos os $n.$

Discussion

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