(página em construção)

Lembramos que um fluxo $\phi_t : M \rightarrow M$ gerado por um campo vetorial $X$ é Anosov quando $D \phi^t$ preserva a decomposição $TM = E^s \oplus \mathbb{R}X \oplus E^u $ e existe $T > 0$ tal que $$ \|D\phi^T v^s\| < \frac{1}{2} < 2 < \|D\phi^T v^u\| $$ para todos os vetores unitários $v^s, v^u \in E^s, E^u.$

Pela teoria clássica temos folheações fortemente estável e instável $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ e saturando essas folheações por órbitas do fluxo obtermos duas outras folheações nvariantes (fracamente estável e fracamente instável).

Como já vimos anteriormente uma classe importante de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos é o conjunto de difeomorfismos tempo um (ou tempo $15$) de um fluxo de Anosov. Porém é possível imaginar que para alguma função não constante $\tau$, a discretização por tempo $\tau$ também seja parcialmente hiperbólico. Apesar de não estar claro que exatamente para quais funções $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$, o difeomorfismo $f(x):= \phi^{\tau(x)}(x)$ é parcialmente hiperbólico, temos muitos exemplos de tais difeomorfismos parcialmente hiperbólicos. Os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos fluxos de Anosov discretizados são definidos “essencialmente” desta forma. Em seguida vamos definir fluxos de Anosov discretizados e sua generalização fluxo de Anosov colapsado.

Primeiramente vamos definir fluxos toplogcamente Anosov.

Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar um par de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:

1. para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável forte $\mathcal{F}^{s},$ $d(\phi_t(x), \phi_{t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação instável.
2. As folheações (dimensão 2) $\mathcal{F}^{cs},\mathcal{F}^{cu}$ são invariantes e topologicamente transversais.

Um difeomorfismo é chamado fluxo de Anosov discretizado se existir $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Os difeormorfismos $C^1$ próximo a tempo um de fluxo de Anosov são fluxo de Anosov discretizado.

De fato se $$

Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é orbit equivalente a um fluxo de Anosov.