Prazo de entrega: 31 de maio 2022

1. Seja $(X, d)$ um espaço métrico e $f: X \rightarrow X$ uma isometria, i.e. $d(f(x), f(y)) = d(x, y), \forall x, y \in X.$ Mostre que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{d(x, f^n(x))}{n}$ existe, onde $f^n(x) = f \circ f \circ f \cdots \circ f (x)$ ($n$ composição de $f$.)

Além disso mostre que o valor do limite não depende de $x \in X.$

2. Seja $C \subset \mathbb{N}.$ Definimos $C \oplus C := \{x+y | x, y \in C, x \neq y\}.$ Demonstre que existe uma única partição de $\mathbb{N}$ em dois subconjuntos $A, B$ (i.e $A \cup B = \mathbb{N}, A \cap B = \emptyset.$) tal que $A \oplus A$ e $B \oplus B$ não contem nenhum número primo. Dica: Use princípio de Bertrand que mostra dado $n \in \mathbb{N}, n > 1$ existe um númer primo $p$ tal que $n \leq p < 2n.$