A noção de derivada foi consolidada nos trabalhos de Leibniz e Newton. A noção de derivada foi bem estabelecida quando a noção de números reais foi rigorosamente compreendida. O cálculo de velocidade instantâneo foi uma das necessidades que implicaram busca pela definição rigorosa de derivada.

Velocidade média: Vamos considerar uma partícula que move numa reta (considere reta dos números reais). A posição da partícula no tempo $ t $ é uma função de $ t $ que denotamos por $ f(t) $.  A velocidade média entre tempo $ t_1 $ e $ t_2 $ é dada por $ \frac{f(t_2) -f(t_1)}{t_2 - t_1}.$ 

Se o movimento for uniforme (velocidade constante) então a distância percorrida sempre é igual a velocidade média (número constante) multiplicado por tempo percorrido. Porém se a velocidade não for constante (considere um objeto em queda livre!) precisamos de analisar mais detalhadamente o movimento. Lembrem de Galileo e seus esforços para entender estes movimentos, enquanto ainda não existia cálculo diferencial!

Se na definição de velocidade média acima, substituirmos $ t_1 = t $ e escolhermos $ t_2 $ muito próximo a $ t $ então obteremos a velocidade média num intervalo muito curto, porém ainda não temos a velocidade no exato momento $ t $. Se substituirmos $ t_1=t_2=t $ temos um problema sério! (zero dividido por zero que não faz nenhum sentido!)

A saída honesta é calcular limite!

Vamos definir a velocidade no momento $ t $ como

$ \lim_{s \rightarrow t} \frac{f(s)-f(t)}{s-t}$

que é o mesmo que

$ \lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

(* veja fim desta página para solução) Como um bom exercício mostrem que se o limite acima existir então o limite abaixo existe e coincide com a velocidade instantânea no momento $ t$:

$ \lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t-h)}{2h}$

Dado um ponto $ a $ no interior do domínio da função $ f $ denotamos por $ f^{'}(a) $, a derivada da função no ponto $ a $,  o limite abaixo (se existir!)

$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $

Exemplo: Calcule $ f^{'}(a) $ se $ f(x)= Ax + B $.

neste exemplo vamos calcular a derivada da função linear.

$ f^{'}(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(Ax+B)-(Aa+B)}{x-a} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{A(x-a)}{x-a} = A. $

portanto a derivada da função linear é constante, ou seja não depende do ponto $ a $ onde estamos calculando a derivada!  Isto deve lembrar movimento com velocidade constante na reta.

Exemplo: Vamos calcular a derivada de $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ com regra $ f(x)=cx^n $.

Dado um ponto $ a $ pela definição

$ f^{'}(a)= \lim_{x \rightarrow a} \frac{cx^n - ca^n}{x-a}  $

$ = \lim_{x \rightarrow a} c \frac{x^n -a^n}{x-a} $

$ = \lim_{x \rightarrow a} c(x^{n-1}+x^{n-2}a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1}) $

$ = cna^{n-1} $.

Portanto concluímos que $ f^{'}(x)=cnx^{n-1}. $

Considere uma curva no plano e um ponto $ A $ na curva. Como definimos uma reta tangente a curva no ponto $  A? $

Se pararmos para pensar, observamos que não é trivial dar uma definição simples. por exemplo: A reta tangente é aquela que intersecta a curva apenas no ponto $ A $. Isto não é correto.

ou mesmo: A reta tangente é aquela que a curva, localmente, fica “apenas num lado” da reta. Pense!

A necessidade da definição rigorosa da reta tangente veio de vários problemas, incluindo problemas da física (por exemplo na reflexão de raio de luz).

Para definir a reta tangente no ponto $ A $ consideramos uma sequência de pontos $ A_n $ na curva que “convergem” a $ A $. Agora consideramos as retas $ AA_n $ (reta que passa pelos pontos $ A, A_n $) e definimos a reta tangente como limite da sequência das retas $ AA_n $.

Observação importante porém um pouco vago ainda: A reta tangente num ponto na curva, não depende do formato da curva “longe” do ponto A.  Reta tangente ao gráfico de uma função:

Suponhamos que a curva considerada acima seja gráfico de uma função $ f $ e o ponto $ A=(x_0, f(x_0)) $. Pela definição da reta tangente concluímos que a reta tangente terá coeficiente angular

$ f^{'}(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. $

Exemplo: Vamos calcular a equação da reta tangente a curva dada pela equação

$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}=1 $ no ponto $ A= (2, -\frac{3\sqrt{3}}{2}). $

Solução: Vamos considerar apenas um pedaço da curva que contem o ponto $ A $ que a podemos considera-lo como gráfico de uma função para poder utilizar cálculo!

Observe que pela equação da curva temos

$ y = \pm \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2} $.

Assim obtemos regra de duas funções. O ponto $ A $ satisfaz a equação $ y = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2} $ e portanto pertence ao gráfico da função com seguinte regra:

$ f(x) = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2} $.

Vamos calcular a derivada da $ f $ no ponto $ x=2. $ Observem que calculamos a derivada de uma função num ponto do interior de seu domínio. Neste caso $ x =2 $ que é a abcissa do ponto $ A. $

$ f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-\frac{3}{4}  \sqrt{16-x^2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-3}{4} \times \frac{\sqrt{16-x^2} -  2\sqrt{3}}{x-2} $

temos intederminação (ou palavrão) do tipo $ \frac{0}{0} $. Multiplicamos o denominador e numerador por expressão $ \sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3} $ e obteremos

$ f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2}( \frac{3}{4} \times \frac{x+2}{\sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{4}. $

Portanto a equação da reta tangente é

$ y+ \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} (x-2). $

Exemplo de função que não tem derivada:

Considere a função com regra $ f(x) = |x| $ e verifique se $ f $ tem derivada no ponto $ x=0. $

Precisamos verificar se o seguinte limite existe:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} $

Este limite não existe, pois $ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}=1 $ enquanto $ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}=-1 $. Portanto a função $ f $ não é diferenciável no ponto $ x=0. $

A função $ f $ acima é contínua no ponto $ x=0 $ como anteriormente tinhamos provado. Porém acabamos de demonstrar que não tem derivada neste ponto.

Sim, isto que estão pensando é correto! Toda função quando tem derivada num ponto então é contínua naquele ponto, porém a recíproca não é verdade necessariamente como no exemplo acima. Provaremos este fato em outras aulas.

Porém em qualquer outro ponto $ x \neq 0 $ a derivada existe. De fato se $  x > 0 $ então $ f^{'}(x)=1 $ e para $ x < 0 $ temos $ f^{'}(x) = -1. $

muito informalmente falando: a função não tem derivada nos pontos onde o gráfico da função tem um bico!

Exemplo: Verifique se a função $ f(x)= [x] $ é diferenciável em algum ponto de seu domínio. Calcule a derivada.

Uma piada: Voce sabia por que a derivada de $ h $ não tem derivada?

Outro Exemplo (sem bico e sem derivada): Vamos ver uma função que não tem derivada. $ f(x)=x^{\frac{1}{3}}. $ Podemos verificar que $ f $ no ponto $ x=0 $ não tem derivada.

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} $

e o limite acima não existe. Lembrem que “infinito não é um número!”

Neste caso, a função não tem bico no ponto onde não é diferenciável. De fato a reta tangente é vertical! Azar dela! veja o gráfico dela!

(*) Sobre exercício proposto:

Se $ f $ for diferenciávle no ponto $ a $ então o seguinte limite existe e coincide com a derivada $ f^{'}(a). $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} $.

Porém, se este limite existir, a função pode não ser diferenciável no ponto $ x=a $

Vamos denotar $ b:=a-h $ e portanto

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(b)}{2(a-b)}  $

$ = \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(a)}{2(a-b)} + \frac{f(a) - f(b)}{2(a-b)}  $

$ = \frac{f^{'}(a)}{2} + \frac{f^{'}(a)}{2} = f^{'}(a). $

Agora vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Considere a função com regra

$ f(x)=1 $ se $ x\neq 0 $ e $ f(0)=0. $ Podemos mostrar que a derivada no ponto $ x=0 $ não existe. Porém

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(-h)}{2h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h} = 0. $