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Lembramos que um fluxo $\phi_t : M \rightarrow M$ gerado por um campo vetorial $X$ é Anosov quando $D \phi^t$ preserva a decomposição $TM = E^s \oplus \mathbb{R}X \oplus E^u $ e existe $T > 0$ tal que $$ \|D\phi^T v^s\| < \frac{1}{2} < 2 < \|D\phi^T v^u\| $$ para todos os vetores unitários $v^s, v^u \in E^s, E^u.$

Pela teoria clássica temos folheações fortemente estável e instável $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ e saturando essas folheações por órbitas do fluxo obtermos duas outras folheações nvariantes (fracamente estável e fracamente instável).

Como já vimos anteriormente uma classe importante de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos é o conjunto de difeomorfismos tempo um (ou tempo $15$) de um fluxo de Anosov. Porém é possível imaginar que para alguma função não constante $\tau$, a discretização por tempo $\tau$ também seja parcialmente hiperbólico. Apesar de não estar claro que exatamente para quais funções $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ o difeomorfismo $f(x):= \phi^{\tau(x)}(x)$ é parcialmente hiperbólico, mas temos muitos exemplos de tais difeomorfismos.

Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar um par de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:

1. para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável forte $\mathcal{F}^{s},$ $d(\phi_t(x), \phi_{t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação instável.
2. As folheações (dimensão 2) $\mathcal{F}^{cs},\mathcal{F}^{cu}$ são invariantes e topologicamente transversais.

Um difeomorfismo é chamado fluxo de Anosov discretizado se existir $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Os difeormorfismos $C^1$ próximo a tempo um de fluxo de Anosov são fluxo de Anosov discretizado.

De fato se $$

Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é orbit equivalente a um fluxo de Anosov.