Nas páginas anteriores calculamos a derivada de algumas poucas funções. Em seguida vamos provar algumas propriedades com as quais podemos calcular derivada de muitas outras funções.

Proposição: Sejam $ f,g $ duas funções diferenciáveis em $ a $, então

1. A função $ f+g $ também é diferenciável no ponto $ a$ e $ (f+g)^{'}(a)=f^{'}(a)+g^{'}(a).$
2. (Regra de Leibniz) O produto $ fg $ também é diferenciável no ponto $ a $ e $ (fg)^{'}(a)= f^{'}(a)g(a) + f(a)g^{'}(a). $
3. Se $ g(a) \neq 0 $ e a função $ \frac{f}{g} $ for definida numa vizinhança do ponto $ a $ então $ (\frac{f}{g})^{'}(a) = \frac{f^{'}(a)g(a) - f(a)g^{'}(a)}{g(a)^2} $

Demonstração: A demonstração de (1) fica para o leitor.

Vamos demonstrar (2):

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(fg)(a+h) - (fg)(a)}{h} = $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a+h) + f(a)g(a+h) - f(a)g(a)}{h}=  $

$ =  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(a+h)(f(a+h) - f(a)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a)(g(a+h) - g(a))}{h} $

$ = g(a)f^{'}(a) + f(a)g^{'}(a).$

Agora vamos demonstrar (3).

Já que $ g(a) \neq 0 $ podemos achar $ \epsilon > 0 $ tal que $ |g(a)| > \epsilon. $ Já provamos que a diferenciabilidade da função implica que existe um intervalo em torno de $ a $ tal que a função $ g $ não é nula. Portanto

$ \frac{\frac{f}{g}(x) - \frac{f}{g}(a)}{x-a} = \frac{f(x)g(a)- f(a)g(x)}{(x-a) g(x)g(a)}  $

$ = ((\frac{f(x)-f(a)}{x-a})g(a) - f(a)(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}) ) \times \frac{1}{g(x)g(a)} $

Agora usando o fato de que o “limite da soma é soma dos limites” concluímos o item (3).

Considere função polinomial $ P(x)= a_0 + a_1x + \cdots a_n x^n. $ Já verificamos que a derivada de $ a_k x^k $ é igual a $ ka_k x^{k-1} $ e portanto $ P^{'}(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + na_n x^{n-1}. $

Usando (3) da proposição acima, podemos calcular a derivada de todas as funções racionais no seu domínio.

Usando derivada da funções $ Sen, Cos $ vamos calcular a derivada de outras funções trigonométricas:

$ tg^{'}(x)=   sec^2(x) = 1 + tg^2(x) $

$ cotg^{'}(x) = - cosec^2(x) = - (1+ cotg^2(x)) $

$ sec^{'}(x) = tg(x)sec(x) $

$ cosec^{'}(x)= - cotg(x)cosec(x). $

Vamos calcular derivada da função exponencial. De fato mostramos que se $ f(x)=e^x $ então $ f^{'}(x)=e^x. $

Em geral se $ g(x)= a^x , a > 0 $ então $ g^{'}(x)= ln(a) g(x). $

Para provar basta observar que

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} e^x = 1 \times e^x = e^x. $

e também $ a^x = e^{ln(a)x} $ e como um exercício o leitor mostra o resultado desejado sobre derivada da função $ a^x. $

Como calcular a derivada da função $f: f(x)=ln(x)?$ Claro que podemos usar a definição da derivada. Porém vamos utilizar uma tecnologia chamada Regra de Cadeia:

A regra de cadeia é a regra de ouro para calcular derivada de muitas funções. Uma construção fundamental na teoria de funções é a composição de duas ou mais funções. A regra de cadeia trata de derivada de composição de funções.

Teorema: Sejam $ f: S \rightarrow \mathbb{R}, g: T \rightarrow \mathbb{R} $ duas funções, $ a $ um ponto no interior de $ S $ e $ f(a) $ ni interior de $ T $. Se $ f $ e $ g $ forem diferenciáveis respectivamente nos pontos $ a, f(a) $ então $ g \circ f $ é diferenciável no ponto $ a $ e

$ (g\circ f)^{'}(a) = g^{'}(f(a)) f^{'}(a). $

Demonstração: Observe que o domínio da função $ g \circ f $ é o conjunto $ K $ onde:

$ K= \{x \in S : f(x) \in T \} $

Portanto para que derivada da composição no ponto $ a $ tenha sentido em primeiro lugar precisamos averiguar que o ponto $ a $ está no interior de $ K. $

Vamos denotar por $ b= f(a) \in T. $ Já que pela hipótese a função $ g $ é diferenciável no ponto $ b $ estamos assumindo que $ b $ está no interior do conjunto $ T $ e portanto existe um $ \epsilon > 0 $ tal que $ (b-\epsilon, b+\epsilon) \subset T. $ Já que $ f $ é contínua no ponto $ a $ (pois é diferenciável) então existe $ \delta> 0 $ tal que para todo $ x: |x-a| \leq \delta $ então $ |f(x)-f(a)| \leq \epsilon $ e concluímos que $ (a - \delta, a+\delta) \subset K $, ou seja $ a $ é um ponto no interior de $ K. $

Agora vamos provar diferenciabilidade e a fórmula da derivada da composição.  Pela diferenciábilidade de $ f $ existe uma função $ R $ que está definida num intervalo furado em torno de $ a $ tal que $ \lim_{h \rightarrow 0} R(h)=0 $ e

$ f(a+h)= f(a)+ h f^{'}(a) + hR(h) $

De uma forma similar, pela diferenciabilidade de $ g $ no ponto $ b=f(a) $ concluímos que existeoutra função (resto) $ \sigma $ tal que $ \lim_{k \rightarrow 0} \sigma(k) =0  $ e

$ g(b+k)= g(b)+ k g^{'}(b) + k \sigma(k) $

Vamos substituir $ k=f(a+h)-f(a) $ na equação acima

$ g(f(a+h)) - g(f(a)) = (f(a+h)-f(a))g^{'}(b) + k \sigma(k) $

$ = (h f^{'}(a) + hR(h)) g^{'}(b) + k \sigma(k) $

$ = h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + hg^{'}(b)R(h) + (h f^{'}(a) + h R(h)) \sigma(k) $

Agora basta observar que quando $ h \rightarrow 0 $ então $ k = f(a+h)-f(a) \rightarrow 0 $ e portanto

$ g(f(a+h)) = g(f(a)) + h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + h \eta(h) $

onde $ \eta(h) = R(h)g^{'}(b) + f^{'}(a) \sigma(k) + R(h) \sigma(k)  $  e fácil ver que $ \eta(h) \rightarrow 0 $ quando $ h \rightarrow 0. $

Vamos usar regra de cadeia para calcular derivada de $f(x)=ln(x).$ Basta considerar $g(x)=e^x$ e observar que $g(f(x))=x$. Agora derivamos dois lados da equação e pela regra de cadeia temos $g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1.$ Portanto $e^{f(x)} f^{'}(x) = 1$ e logo $f^{'}(x) = \frac{1}{e^{ln(x)}} = \frac{1}{x}.$

Exemplo: Calcule a derivada da função $ h(x)= (x^2+x+1)^{10}. $ Claro que não vamos calcular a décima potência de $ x^2+x+1 $ antes de calcular a derivada!

Considere $ g(x)=x^{10}, f(x)=x^2+x+1 $  e portanto

$ h(x)=g (f ( x)) $. Usando regra da cadeia teremos

$ h^{'}(x)= g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 10 (x^2+x+1)^{9} (2x+1). $

Exercício: Calcule a derivada $ f(x)= \sqrt[3]{\frac{cos(x)}{x-1}} $ e para divertir mais calcule derivada de $ f(x)=e^{e^x} $ ou $ f(x)= e^{x^n} $

Exemplo: Calcule a derivada da $ f(x)=\sqrt{x} $. Observe que $ f(x)^3= x $. Vamos denotar $ g(x)=x^3 $. Então

$ g(f(x))=x $

agora vamos derivar dos dois lados da equação acima: $ g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1 $. Lembrando que $ g^{'}(x)=3x^2 $:

$ f^{'}(x) = \frac{1}{g^{'}(f(x))} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} $

Exemplo: Calcule a derivada da função $ f(x)= ln(x) + 2 e^{sen(x^2)} $

Considere $ g(x)= ln(x), h(x)=e^x, K(x)=sen(x), L(x)=x^2, T(x)=2x $. Então podemos escrever

$ f(x) = g(x) + T(h(K(L(x)))) $. Portanto pela “derivada da soma é soma das derivadas” temos $ f^{'}(x) = g^{'}(x) + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = \frac{1}{x} + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x)   $ e agora usamos a regra de cadeia para obter derivada da composição das 4 funções $ T, h, K, L $ cujas derivadas individualmente são conhecidas.

$ (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = 2 (2x) cos(x^2) e^{sen(x^2)} $

Exemplo:

A partir de agora é bom lembrar que usando regra de cadeia a derivada da dunção $ e^{g(x)} $ é igual a $ g^{'}(x)e^{g(x)} $