Skew produtos:

Seja $A: N \rightarrow N$ um difeomorfismo de Anosov e $G$ um grupo de Lie compacto, seja $\theta: N \rightarrow G$ uma função diferenciável e definimos $A_{\theta} (p, g)= (A(p), \theta(p)g)$. Este é um exemplo de Skew produto parcialmente hiperbólico (exemplo algébrico).

Os exemplos $A_{\theta} (p, g) = (A(p), \theta(p) + g)$ onde $p \in \mathbb{T}^2, g \in \mathbb{S}^1$ são parcialmente hiperbólicos em $\mathbb{T}^3$ que é um fibrado sobre $\mathbb{T}^2.$ Observe que este fibrado é trivial. $\mathbb{T}^3 = \mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1$ é um fibrado orientável.

Existem exemplos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos em $3-$variedades que são fibrados não orientável.

Considere $A \in SL(2, \mathbb{Z})$ tal que $A(0, 1/2) = (0, 1/2)$ mod$-\mathbb{Z}.$ Seja $\theta: \mathbb{T}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\theta(x, y+1/2) = -\theta(x, y).$ (*) Definimos $$ A_{\theta} (x,y,z) = (A(x, y), z + \theta (x, y)). $$ Até aqui podemos falar que $A_{\theta} : \mathbb{T}^3 \rightarrow \mathbb{T}^3$ é um parcialmente hiperbólico definido num fibrado trivial e orientável.

Agora vamos transformar nosso espaço ambiente um pouco mais complicado de tal forma que ainda seja fibrado porém não orientável. Considere a simetria $$ \phi (x, y, z) = (x, y+1/2, -z).$$ Observe que $\phi^2 = Id$ e não tem ponto fixo. Então usando teoria de variedade básica, podemos concluir que $\mathbb{T}^3 / \phi$ é uma variedade diferenciável. Lembrem que $\mathbb{T}^3 / \phi$ representa o espaço quociente quando consideramo relação de equivalência $(x, y, z) \sim \phi(x, y, z).$

Agora vamos projetar o difeomorfismo $A_{\theta}$ na variedade $\mathbb{T}^3 / \phi.$ Observe que se verificarmos que $$ A_{\theta} \circ \phi = \phi \circ A_{\theta}$$ concluiremos que $A_{\theta}$ pode ser definida como um difeomorfismo de $\mathbb{T}^3 / \phi$. (exercício: $A_{\theta}$ preserva classes de equivalência e portanto induz difeomorfismo no espaço quociente.)

De fato $$A_{\theta} \circ \phi (x, y, z) = A_{\theta} (x, y+1/2, -z) = (A(x, y)+ A(0, 1/2) , \theta (x, y+1/2, -z))$$ $$ = \phi \circ A_{\theta} (x, y, z) + (A(0, 1/2)- (0, 1/2), 0) = \phi \circ A_{\theta} (x, y, z)$$ Finalmente observamos que $\mathbb{T}^3 / \phi$ é um fibrado não orientável.Observe que novamente o fibrado é sobre $\mathbb{T}^2 = \frac{\mathbb{R}^2}{\mathbb{Z} \oplus 1/2 \mathbb{Z}}.$

Um difeomorfismo parcialmente hiperbólico numa variedade de Seifert com 4 folhas singulares.

Seja $\phi : \mathbb{T}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\phi \circ (-Id) = \phi$ e $A : \mathbb{T}^2 \rightarrow \mathbb{T}^2$ um difeomorfismo de Anosov. novamente definimos $A_{\phi} (p, t) = (A(p), t + \phi(p).$ Isto é um difemorfismo parcialmente hiperbólico em $\mathbb{T}^3.$ Vamos complicar o ambiente novamente: Considere a simetria $S(p, t) = (-p, t+1/2).$ Observe que $p \in \mathbb{T}^2.$ Pela propriedade (**) e fazendo conta observamos que $$ A_{\phi} (S(p, t)) = S (A_{\phi}(p, t)) $$ vamos para $(p, t) \in \mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1.$ Portanto novamente induziremos um difeomorfismo parcialmente hiperbólico em $\mathbb{T}^3 / S.$

Neste exemplo a riqueza está na topologia da variedade $ M :=\mathbb{T}^3 / S.$ Os pontos $(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2)$ são pontos fixos de $-Id$. Observe que $M$ mesmo localmente ao redor de 4 pontos $(0, 0, 0), (0, 1/2, 0), (1/2, 0, 0), (1/2, 1/2, 0)$ não é trivial (folhas singulares de fibração Seifert). Por exemplo próximo $(0, 0, 0)$ temos que $(\epsilon, \epsilon, 1/2) \sim (-\epsilon, - \epsilon, 0)$ e portanto perto da folha central passando por $(0, 0, 0)$ que é um círculo, as folhas centrais “dão duas vezes volta”.

Podemos observar também que se apenas considerarmos o espaço quociente de $\mathbb{T}^2$ pela relação de equivalência $ p \sim -p$ obteremos esfera topologicamente.

Fluxo geodésico: Considere $\Sigma$ uma superfície compacta com curvatura negativa e seja $M = \mathrm{T}^1 \Sigma$ o fibrado unitário $\{(x , v) : x \in \Sigma, v \in \mathrm{T}_x \Sigma, \|v\| =1\}.$ Então é conhecido que o fluxo geodésico é um fluxo de Anosov e portanto $f := \phi^1$ (o tempo um do fluxo) é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico. É fácil ver que $f$ é homotópico a identidade apenas considerando o caminho $g_t :=\phi^{t}.$ Claro que $g_0 = Id$ não é parcialmente hiperbólico. Portanto este é um exemplo de difeomorfismo parcialmente hiperbólico que é homotópico a identidade.

O fibrado unitário é um fibrado de Seifert (é um fibrado por círculos sobre superfície $\Sigma$.) Todo difeomorfismo $g$, $C^1$ próximo de $\phi^{t_0}$ ($t_0$ fixo) também é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico que também será homotópico a identidade. Observe que $g$ não é necessariamente tempo fixo do fluxo de Anosov. Porém podemos mostrar que existe um fluxo de Anosov topologico e $\tau : M \rightarrow (0, \infty)$ tal que $g(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Este tipo de difeomorfismos é chamado fluxo Anosov discretizado.

Portanto exemplos 2, 3 mostram que numa variedade de Seifert podemos ter parcialmente hiperbólicos homotópicos a identidade ou não.

Porém o teorema de Barthelmé-Fenley-Frankel-Potrie mostra:

Teorema: Seja $f: M^{3} \rightarrow M^{3}$ um difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinâmicamente coerente numa variedade fechada de Seifert. Se $f$ é homotópico a identidade então algum iterado de $f$ é discretized Anosov flow. outro teorema dos mesmos autores:

Teorema: Seja $f: M^{3} \rightarrow M^{3}$ um difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinâmicamente coerente numa variedade hiperbólica. Então algum iterado de $f$ é discretized Anosov flow.

Observamos que pelo Teorema de Rigidez de Mostow (link) se $f$ é um homeomorfismo de uma variedade hiperbólica então $f$ é homotópico a uma isometria $E$. Agora observe que se $E$ é uma isometria de $M$ compacta, então para algum $N$ suficientemente grande $E^N$ é próximo a identidade (basta considerar a sequência $E^n, n=1,2,\cdots$ que tem ponto de accumulação e $d(E^n, E^m) = d(Id, E^{m-n})$) e portanto $E^{m-n}$ e consequentemente $f^{m-n}$ é homotópico a identidade.

O exemplo abaixo mostra que no teorema em caso das variedades de Seifert, realmente precisamos tomar um iterado da $f$. Existem exemplos homotópicos a identidade que não são discretização de fluxo de Anosov (porém todos estes exemplos estão dentro de uma classe maior Collapse Anosov flows……)

Seja $\Sigma$ uma superfície hiperbólica e $g_t : T^1 \Sigma \rightarrow T^1 \Sigma$ fluxo geodésico (que sabemos ser Anosov). Agora considere $M$ uma cobertura $k-$ramificada de $T^1 \Sigma$, isto é $\pi : M \rightarrow T^1 \Sigma$ um recobrimento com $k-$pré imagem para cada ponto de $T^1 \Sigma$ e este recobrimento $k-$ramificado é de fato corresponde a cobertura $k-$ramificado de círculo unitário dentro de espaço tangente de cada ponto em $\Sigma$. Seja $S : M \rightarrow M$ a transformação de órdem $k$, i.e $S^k = Id$ correspondente a rotação de $2 \pi$ e $g^t_M$ levantamento do fluxo $g^t$ em $M$. Então $f = g^1_M \circ S$ é pacialmente hiperbólico, homotópico a identidade e não fixa folhas centrais, porém $f^k$ é uma discretização de fluxo de Anosov.